АННОТАЦИЯ
В курсе математики мы получаем большой объём математических знаний. Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на занятиях математики?»
Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции. Задавшись целью, мы провели исследовательскую работу и выяснили, что логарифмы, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, а так же экономике банковского дела и производства.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. История развития правильных многогранников
2. История развития русского костюма
2.1 Развитие русского народного костюма
2.2 Развитие русского городского костюма XVIII-XX вв.
3. Разработка коллекции современных моделей на основе исследования .
Заключение
Библиографический список
Введение
Актуальность данной работы определяется широким интересом к истории русского национального костюма и его интерпретациям. Также правильные многогранники позволяют реализовать межпредметные связи со специальными предметами по профессии «Художник по костюмам», что служит для решения конкретных методических задач. Таким образом, названные особенности выводят исследование на междисциплинарный уровень.
Цель работы заключается в выявлении использования правильных многогранников в костюмах.
В соответствии с поставленной целью ставятся следующие задачи:
• расширить знания о логарифмической
функции и методах решения уравнений;
• узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает логарифмическая функция;
• научиться применять полученные знания в
нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.
• Работа в программах MX Power Point
Объект исследования – русские национальные костюмы, в которых используются геометрические тела.
В соответствии с поставленными задачами в работе использованы следующие методы исследования:
- описательный метод;
- дедуктивный метод.
Актуальным и наиболее значимым в данной работе представляется практический материал, поэтому она носит ярко выраженную прикладную направленность.
Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов в создании новой коллекции одежды.
Открытие банковского счёта Проблема, которая нас заинтересовала– открытие банковского счета, другими словами, как «положить деньги на книжку.» Мы знаем что, если в банк внесена сумма Sº руб. и банк выплачивает p% в год, то через n лет на счете вкладчика окажется сумма: Sⁿ=Sº(1+p/100)ⁿ- формула сложных процентов. Конечно, надо понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассматривается только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Очевиден рост величины вклада при возрастании срока его хранения. Докажем это на конкретном примере. В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:
10% от этой суммы составляют 0,1 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 р.10% от новой суммы составляют 0,1 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 = 1996,5 р.
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S р. p% от S составляют р., и через год на счёте окажется суммаS = S + = = S, т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз. За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма S = S = S = S и т. д. Другими словами справедливо равенство S = S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста. Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? В нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле
S = . Нам необходимо найти n, при котором = , т. е. решить уравнение = .Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором.n = log = = .
Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим). Рассмотрим этот же пример, но в общем виде. Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим: lg S = lg , lg S = lg A + lg , lg S – lg A = n lg , откуда n = . Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т. д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением. Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать? Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A – исходная сумма, S – снимаемая сумма ежегодно, P – процентная ставка. Тогда через год на счету будет A , а после снятия денег A ;через два года:
, или A ;через три года: , илиA ;через четыре года: , или
A и т. д.Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остаётся сумма в количестве
A руб.Сумма
представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна = Тогда в итоге получаем - закон образования суммы в конце каждого года после съёма денег с вклада. В нашем случае получаем: ,и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю.
; =
; ; ; ; ; ; .Таким образом, выполнение денежных операций в полном объёме возможно на протяжении 7 лет. Усложним задачу и попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учётом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить p% годовых, а, скажем, через 8 месяцев. Эти условия должны быть “справедливыми”: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов. Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной S , через 16 месяцев – S , а ещё через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной S .Однако 24 месяца – это 2 года, и по условию хранения вклада (p% годовых) сумма на счете должна оказаться равной S .Поэтому должно выполняться равенство S = S ,из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев: = Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство = ,и, следовательно, на счёте вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма S = S .Другими словами, через года сумма на счёте увеличивается в раз. Данные рассуждения позволяют сделать вывод: формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада.Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком p% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счёте должна превратиться в S , т. е. увеличиться в раз. На практике, однако, часто пользуются более простым расчётом и при p% годовых (с учётом “процентов на проценты”) за 1 месяц выплачивают %. Возникает очень интересный практический вопрос – кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик?
Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых x>0 и любого 0 < r < 1 справедливо неравенство < 1+rx. При x = и r = получаем, что < 1+ .Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчётов выигрывает клиент банка.
Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.
Задача №1. Количество клиентов еженедельно увеличивается на 8%. Через сколько недель количество клиентов увеличится в 3 раза?
Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: или Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда x = Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим
Примерно через 14 лет.
Заключение
В работе, рассмотрены исторические и национальные особенности развития русского национального костюма, замечены характерные моменты изменения и усложнения техник и приёмов моделирования в различное время и разных социальных слоях.
Так же, выявлены значимые моменты, которые являются основой создания костюмов, техники их пошива, изучены различные технологии для создания более разнообразных и эффектных изделий.
Данная работа может быть использована в различных конкурсах профессионального мастерства, выставках, а так же в качестве демонстрации в процессе обучения по профессии «Художник по костюму».
Библиографический список
1. Смирнова И.М. В мире многогранников.: Кн.для учащихся.
2. Аленксандров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве.: Учеб.пособие для уч. ст.кл. и абитуриентов. 1998г.
3. БСЭ т.16 под редакцией Прохорова А.М.-М.1978.
В курсе математики мы получаем большой объём математических знаний. Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на занятиях математики?»
Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции. Задавшись целью, мы провели исследовательскую работу и выяснили, что логарифмы, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, а так же экономике банковского дела и производства.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. История развития правильных многогранников
2. История развития русского костюма
2.1 Развитие русского народного костюма
2.2 Развитие русского городского костюма XVIII-XX вв.
3. Разработка коллекции современных моделей на основе исследования .
Заключение
Библиографический список
Введение
Актуальность данной работы определяется широким интересом к истории русского национального костюма и его интерпретациям. Также правильные многогранники позволяют реализовать межпредметные связи со специальными предметами по профессии «Художник по костюмам», что служит для решения конкретных методических задач. Таким образом, названные особенности выводят исследование на междисциплинарный уровень.
Цель работы заключается в выявлении использования правильных многогранников в костюмах.
В соответствии с поставленной целью ставятся следующие задачи:
• расширить знания о логарифмической
функции и методах решения уравнений;
• узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает логарифмическая функция;
• научиться применять полученные знания в
нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.
• Работа в программах MX Power Point
Объект исследования – русские национальные костюмы, в которых используются геометрические тела.
В соответствии с поставленными задачами в работе использованы следующие методы исследования:
- описательный метод;
- дедуктивный метод.
Актуальным и наиболее значимым в данной работе представляется практический материал, поэтому она носит ярко выраженную прикладную направленность.
Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов в создании новой коллекции одежды.
Открытие банковского счёта Проблема, которая нас заинтересовала– открытие банковского счета, другими словами, как «положить деньги на книжку.» Мы знаем что, если в банк внесена сумма Sº руб. и банк выплачивает p% в год, то через n лет на счете вкладчика окажется сумма: Sⁿ=Sº(1+p/100)ⁿ- формула сложных процентов. Конечно, надо понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассматривается только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Очевиден рост величины вклада при возрастании срока его хранения. Докажем это на конкретном примере. В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:
10% от этой суммы составляют 0,1 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 р.10% от новой суммы составляют 0,1 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 = 1996,5 р.
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S р. p% от S составляют р., и через год на счёте окажется суммаS = S + = = S, т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз. За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма S = S = S = S и т. д. Другими словами справедливо равенство S = S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста. Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? В нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле
S = . Нам необходимо найти n, при котором = , т. е. решить уравнение = .Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором.n = log = = .
Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим). Рассмотрим этот же пример, но в общем виде. Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим: lg S = lg , lg S = lg A + lg , lg S – lg A = n lg , откуда n = . Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т. д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением. Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать? Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A – исходная сумма, S – снимаемая сумма ежегодно, P – процентная ставка. Тогда через год на счету будет A , а после снятия денег A ;через два года:
, или A ;через три года: , илиA ;через четыре года: , или
A и т. д.Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остаётся сумма в количестве
A руб.Сумма
представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна = Тогда в итоге получаем - закон образования суммы в конце каждого года после съёма денег с вклада. В нашем случае получаем: ,и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю.
; =
; ; ; ; ; ; .Таким образом, выполнение денежных операций в полном объёме возможно на протяжении 7 лет. Усложним задачу и попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учётом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить p% годовых, а, скажем, через 8 месяцев. Эти условия должны быть “справедливыми”: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов. Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной S , через 16 месяцев – S , а ещё через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной S .Однако 24 месяца – это 2 года, и по условию хранения вклада (p% годовых) сумма на счете должна оказаться равной S .Поэтому должно выполняться равенство S = S ,из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев: = Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство = ,и, следовательно, на счёте вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма S = S .Другими словами, через года сумма на счёте увеличивается в раз. Данные рассуждения позволяют сделать вывод: формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада.Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком p% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счёте должна превратиться в S , т. е. увеличиться в раз. На практике, однако, часто пользуются более простым расчётом и при p% годовых (с учётом “процентов на проценты”) за 1 месяц выплачивают %. Возникает очень интересный практический вопрос – кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик?
Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых x>0 и любого 0 < r < 1 справедливо неравенство < 1+rx. При x = и r = получаем, что < 1+ .Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчётов выигрывает клиент банка.
Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.
Задача №1. Количество клиентов еженедельно увеличивается на 8%. Через сколько недель количество клиентов увеличится в 3 раза?
Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: или Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда x = Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим
Примерно через 14 лет.
Заключение
В работе, рассмотрены исторические и национальные особенности развития русского национального костюма, замечены характерные моменты изменения и усложнения техник и приёмов моделирования в различное время и разных социальных слоях.
Так же, выявлены значимые моменты, которые являются основой создания костюмов, техники их пошива, изучены различные технологии для создания более разнообразных и эффектных изделий.
Данная работа может быть использована в различных конкурсах профессионального мастерства, выставках, а так же в качестве демонстрации в процессе обучения по профессии «Художник по костюму».
Библиографический список
1. Смирнова И.М. В мире многогранников.: Кн.для учащихся.
2. Аленксандров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве.: Учеб.пособие для уч. ст.кл. и абитуриентов. 1998г.
3. БСЭ т.16 под редакцией Прохорова А.М.-М.1978.