Очень многие процессы в окружающем нас мире имеют повторяющийся характер. Например, раз в год повторяется взаимное расположение Земли и Солнца. С течением времени повторяются день и ночь, приливы и отливы. Положение маятника в моменты времени, отличающиеся на период колебаний маятника, одинаковы.

 

Процессы такого рода называют периодическими. Фунции, которые описывают эти процессы, так же называют периодическими.

 

Известные нам тригонометрические функции являются периодическами. Для любого числа x и любого целого числа k выполнчется sin(x+2πk)=sin(x), следовательно 2πk; k - целове число, - период функции синуса.

 

В общем случае говоря о периодичести функции f полагают, что имеется такое число T≠0, что область определения D(f) вместе с каждой точкой x содержит и точки, получающиеся из точки x параллельным переносом вдоль оси OX (вправо и влево) на расстояние T. Функцию f называют периодической с периодом T≠0, если для любого x из области определения значения этой функции в точках x; x-T; x+T равны, то есть f(x-T) = f(x) = f(x+T).

 

Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой, а так же sin(x+2π) = sin(x); cos(x+2π)=cos(x) для любого x, синус и косинус - периодические функции с периодом 2π. Тангенс и котангенс - периодические фугкции с периодом π. В самом деле, области определения этих функций вместе с каждым x содержит числа x+π и x-π и верны равенства tg(x+π) = tg(x), ctg(x+π)= ctg(x).

 

Если фугкция f периодическая с периодом T, то при любом целом n≠0, число nT так же является периодом этой функции. Например, пусть n=3. Воспользуемся опредедением периодической функции: f(x+3T) = f((x+2T)+T) = f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x).

Аннотация  к уроку:

Предлагаемый урок  первый в разделе «Тригонометрия».   На нем строиться  математическая модель периодических процессов - числовая окружность. С помощью видеоряда периодических явлений природы и техники создается проблемная ситуация и мотивируется необходимость появления новой модели. Возможности ИКТ позволяют наглядно представить этапы построения модели.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Класс: 10

Тема урока: Числовая окружность как математическая модель периодических процессов.

Цель урока:  обоснование  необходимости существования новой  математической модели и построение  ее.

Задачи урока:

1. Формировать представление о роли математического моделирования  в  деятельность математика.
2. Построение и изучение модели числовой окружности.

 

Учебно-методическое обеспечение:

А.Г. Мордкович.  Алгебра и начала анализа. 10 класс: в двух частях. Учебник для образовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2005.

Время реализации урока:  45 минут.

Авторский медиапродукт:

1. Среда, редактор: Microsoft PowerPoint 2007
2. Вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала.

Необходимое оборудование для урока: компьютер, проектор, экран.

 

 

План проведения урока.

№  п\п	Этапы урока	Временная реализация
1.	Понятие модели или что все-таки изучает математика?	7 минут
2.	Создание проблемной ситуации.	5 минут
3.	Построение модели числовой окружности.	20 минут
4.	Работа с моделью.	8 минут
5.	Рефлексия. Нарисуйте время.	5 минут

 

Карта урока:

Название этапа	Время (мин)	Развитие личностных качеств и психологических процессов
		Репродуктивные формы деятельности	Продуктивные формы деятельности
1.     Понятие модели или что все-таки изучает математика?
1.1 Озвучивание проблемной ситуации. Что все-таки изучает математика?	1	·         Внимание ·         Культура поведения	·         Активное слушание
1.2 Выдвижение рабочих гипотез	2	·         Внимание ·         Культура эмоций ·         Культура поведения	·         Культура диалога ·         Умение сформулировать и отстоять  точку зрения ·         Умение слушать и слышать ·         Интеграция знаний ·         Аргументированность выбора решения
1.3 Понятие модели	2	·         Внимание ·         память	•         Системность •         аналитичность
1.4 Ответ на проблемный вопрос	2	·         Культура эмоций	·         Аргументированность выбора решения
2.     Создание проблемной ситуации с помощью видеоряда и постановка цели урока.	5	·         Внимание ·         Память ·         Культура эмоций ·         Культура поведения	Системность Аналитичность Рефлексивность Самостоятельное целеполагание
3.     Построение модели числовой окружности.
3.1 Анализ примера «Бег по стадиону»	3	·         Внимание ·         Культура эмоций ·         Культура поведения	Аргументированность Системность Аналитичность
3.2 Каким числам соответствуют точки окружности?	5	Память Внимание	Системность Аналитичность Активное слушание Способность самостоятельного планирования
3.3 Что будет на втором витке?	3	Память Внимание Культура поведения Самостоятельность	Целеустремленность Настойчивость Восприимчивость к новому Альтернативность мышления
3.4 Движение в отрицательном направлении	3	Память Внимание Культура поведения Самостоятельность	Аналитичность Аргументированность Точность, уместность и выразительность речи Активное слушание  Альтернативность мышления
3.5  Как отметить числа 1,2,3 и т.д.?	3	Память Внимание Культура поведения Культура эмоций Самостоятельность	Альтернативность мышления Точность, уместность и выразительность речи Активное слушание Способность выделять риски, преимущества,
3.6 Новый вид определения.	3	Память Внимание	Альтернативность мышления Активное слушание
4.Работа с моделью	5	Память Внимание Культура поведения Самостоятельность	Настойчивость Ответственность Внутренняя дисциплина
5.Рефлексия. Нарисуйте время.	5	Культура поведения Культура эмоций Самостоятельность	Рефлексия Способность самостоятельного планирования

 

Ход урока.

1. Понятие модели или что все-таки изучает математика?

Миллионы старшеклассников ежегодно стоят на пороге выбора своей будущей профессии. Многих из них увлечены математикой, интересуются ею, достигают успехов в учебе и планируют сделать ее основой своей будущей профессии. Так чем же занимаются математики, в чем суть их работы? Какие специальные приемы и методы нужно освоить, чтобы заниматься математикой?

Участие математических наук в жизни людей имеет свои особенности. Известно, что ни один материальный предмет или система предметов, а так же реально существующие связи и взаимодействия между ними не являются объектами математического исследования.

Так чем же занимаются математики?

Выслушиваются варианты обучающихся.  В ходе обсуждения возникает понятие  «модель». Учитель акцентирует  на нем  внимание. Просит провести примеры моделей.

• Реальное здание – макет;
• Система кровообращения – схема на плакате;
• Серийный самолет - единичный самолет в аэродинамической трубе
• Природное явление – фотография и т.п.

Во всех этих примерах имеет место замена одного объекта другим, при этом какое-то свойство при замещении сохраняется.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения заменяет объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Хорошо построенная модель, как правило, более доступна для исследования, чем реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом (эксперименты с экономикой страны, с прошлым, с планетами Солнечной системы).

Математическая модель – система соотношений, описывающих изучаемый процесс с помощью математических средств: уравнений, таблиц, графиков, схем, графов, геометрических построений, логических высказываний.

Итак, математики в своей профессиональной деятельности

• Исходя из реально существующих обстоятельств и поставленных задач, строят математические модели.
• Изучают свойства математических моделей.
• Соотносят модели с реальной картиной мира.

2. Создание проблемной ситуации и постановка цели урока.

Демонстрируется слайд-презентация  «Периодические процессы».

Задание учащимся: записать процессы и явления, демонстрируемые на экране.

• Морские волны, прилив
• Вращение планет вокруг Солнца.
• Движение земли вокруг солнца.
• Смена времен года
• Смена дня и ночи.
• Вращение колеса, рулетка
• Вращение различных механизмов
• Маятник
• Биение сердца
• Колебания струны.

Проблемный вопрос:  Что объединяет эти процессы и явления?

Это явления, повторяющиеся через определенные промежутки времени.

Это периодические процессы.

В чем задача математика при изучении периодических процессов.

Создать модель. Именно в этом состоит цель нашего урока.

3. Построение модели.

Координатная прямая (или две координатных прямых –координатная плоскость) помогают описать многие процессы, развивающиеся поступательно. Какая модель, по-вашему, подойдет для описания вращательного движения? Скорее всего, окружность.

Бег по стадиону.

Бег по стадиону – пример повторяющегося движения. Попробуем описать с помощью этого примера движение.

На стадионе есть место старта (начало отсчета). Его можно выбрать  в любом месте, но обычно его отмечают один раз, по договоренности.

Длина стадиона обычно 400 метров. Где нужно отметить место финиша при забеге на 200 м, 500м, 1000м?

Нельзя отличить место финиша на 200 и 1000м. Одна и та же точка может соответствовать разным числам.

А где нужно провести финишную черту марафонской дистанции 42км 195 метров? 105 кругов – это 42 км.

В каком направлении обычно бегают по стадиону?  Против часовой стрелки.

Работа с презентацией 2 «Числовая окружность».

Для удобства выберем окружность единичного радиуса (слайд 2)

Отметим на ней начало отсчета (щелчок). Принято за начало отсчета выбирать правый конец горизонтального диаметра (щелчок).  Обозначим его точкой 0 (щелчок).

Если мы хотим попасть на другой конец горизонтального диаметра, то мы должны «пробежать» половину окружности (щелчок).

Чему равна длина этого пути? Длина всей единичной окружности ,  а половина имеет длину  (щелчок).

Поставим в соответствие левому концу горизонтального диаметра число  (расстояние пройденное точкой против часовой стрелки от начала отсчета)

 

 

Намечаем план дальнейшей работы.

Поделим окружность на четверти (слайд 4) и найдем числа соответствующие точкам.

Разделим четверти еще раз пополам (слайд 6) и найдем числа соответствующие точкам.

Разделим четверти на три части (слайды 7,8) и найдем числа соответствующие точкам.

На числовой окружности числа 0 и  совпадают. Значит ли это. Что они равны?  На самом деле, окружность имеет много витков (слайд 9).

А можно дальше продолжить эту спираль? (слайд 10).

Какие точки будут на втором витке? (щелчок).

Точка бежит по окружности и останавливается на втором витке напротив числа .

Какое число соответствует данной точке? (щелчок).

(щелчок) .

Аналогичная работа проводиться с числами  

( через щелчок).

Обобщение. Одной точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел. Отличающихся друг от друга на  (слайд 11).

Почему мы движемся против часовой стрелки? ( обычно этот вопрос возникает у учащихся)

Направление движения против часовой стрелки принято считать положительным, а направление движения по часовой стрелки – отрицательным. (Слайды 12,13,14,15,16)

Можно ли отметить числа 1.2.3 и т. д.?

Работа с определением числовой окружности.

(работа с текстом учебника)  (слайд 17).

 

 

4. Работа с числовой окружностью.

Отметить на числовой окружности точки

5. Рефлексия.

 

Приглашаю к доске ученика и прошу нарисовать время.

Обычно рисуют циферблат часов либо окружность.

 

В этом состоит ошибка большинства людей. Они считают, что время циклично. На самом деле оно линейно. Люди считают, что время будет постоянно, а оно движется. Подумайте, стоит ли осуществлять чужие желания, вместо того, чтобы двигаться к достижению собственных целей.

 

Те, кто поставил цель стать математиком, ответьте на вопрос: чем же они занимаются. Какую математическую деятельность мы осуществляли? Достигли ли поставленной цели?

 

 Список литературы.

1. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.:Знание, 1991
2. Мордкович А.Г. , Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс: в двух частях. Учебник для образовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007.
3. Ноздрачева Л.. Час свободы. Русский репортер №30-31.2010

 

К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения. Приведите примеры повторяющихся движений (вращающиеся движения земли вокруг своей оси и вокруг солнца, вращение стрелок часов, колес автомобиля, биение сердца человека, морские приливы и отливы, смена дня и ночи, смена времен года, движение кольцевого автобуса по свому маршруту, работа двигателя внутреннего сгорания и другие).

 

Весьма разнообразными повторяющимися движениями являются колебательные движения, колебание маятника часов, автомобиля на рессорах, крыльев птиц, корабля на волнах и т.д.

 

Колебания широко используют в различных технологических процессах и машинах. Приходится учитывать их вредные действия.

 

Сообщение учащегося: “Статистика показывает, что около 80 % поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельною опасностью для самолетов одно время был так называемый “Флаттер” при некоторой заранее непредвиденной скорости самолет начинало трясти, и он разваливался в воздухе. Приходится учитывать возникновение колебаний при строительстве высотных сооружений, мостов (военные по мосту идут не в ногу).

 

Учитель: Циклы движения в одних случаях, у маятников часов повторяются без изменения, в течение строго определенного времени, а в других (морские приливы, движение поездов и т.д.) – значительно отличаются друг от друга. (проводится актуализация знаний учащихся). Точно повторяющиеся движения называются периодическими.

 

Учитель: Какую функцию будем называть периодической? Учащиеся ищут ответ на вопрос в учебнике и записывают в тетради, а учитель на доске символами.

 

Определение: Функцию y = f (x), x Є X, называют периодической, если существует такое число T  0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y = f(x).

 

 – в переводе с греческого - обход, круговращение, определенный круг времени.

 

Учитель: Где вы встречались со словами период, периодический?

 

Ответы учащихся (учащиеся поясняют понятия):

 

Период в музыки – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль.

 

Период геологический – время, в течение которого отлагались осадки, образующие геологическую систему. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

 

Период индукции в химии – время между началом реакции и моментом достижения ей скорости.

 

Период покоя растений – период, во время которого почти полностью приостанавливается ростовые процессы

 

Период полураспада радиоактивного вещества – время, в течение которого число атомов данного радиоактивного вещества уменьшается в два раза.

 

Периодическая дробь – бесконечная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющиеся группы цифр.

 

Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки.

 

Периодическая система Менделеева – свойство простых тел, также формы и соединений элементов, находящихся в периодической зависимости.

 

Периодическое воспаление глаз – конъюнктивит.

 

Задание 1. Учитель: Какие из представленных функций являются периодическими?

 

Y = kx + b, y = kxn, y = x – n, y = |x|, y = sin x, y = cos x

 

Учащиеся: у = sin x, y = cos x. Так как sin (x-2П) = sin x = sin (x + 2П)

 

cos (x – 2П) = сos x = cos (x + 2П) справедливы для любого х, то y = sin x, y=cos x являются периодическими, и число 2П служит периодом и той и другой функции.

 

Учитель: Как построить графики функций y = sin x, y = cos x, не перечисляя всех точек?

 

Учащиеся: построить волну [0; 2П] или [- П; П], а затем сдвинуть волну по оси х на 2П вправо, на 2П влево, на 4П вправо, на 4П влево. В итоге, с помощью одной волны мы можем построить весь график.

 

Учитель: сколько периодов у периодической функции?

 

Учащиеся самостоятельно ищут ответы в учебнике, стр. 55, а затем записывают в тетрадях: для функций y = sin x, y = cos x любое число вида 2Пк, где к = ± 1, ± 2, ± 3, …, является периодом функций. Т = 2 П – основной период и той и другой функции.

 

Учитель: Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

 

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество (таблица орнаментов, элементы вышивок).

 

Задание 2. Учитель: На рисунках изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функции <рисунках 4, 5, 6, 7>.

 

 

 

Рисунок 4

 

 

 

Ответы: Т=2, Т=2, Т=4, Т=8.

 

Задание 3. На <рисунке 8> изображена часть графика периодической функции y = f (x) на [-1;1], длина которого равна периоду. Построите график функции а) на [1;3], б) на [-3;1], на [3;7]. После выполнения задания учащиеся сравнивают свои рисунки с изображением на доске.

 

 

 

Рисунок 8

 

Задание 4. Преобразовать заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin t0 или cos t0, чтобы выполнялось соотношение t0Є (0; 2П) и по возможности найти его значение: sin 11 П/3, cos 9П/2, sin 3900, cos 5400, sin 50.5П.

 

Задание 5. изучите по учебнику (стр.55) как найти основной период функции и найдите основные периоды следующих функций (самостоятельно): а) sin x/2, cos3x, sin 5x/4, cos 2x/3. (учащиеся сравнивают записи своих решений с изображениями на слайде).

 

Задание дополнительно.

 

Доказать тождество: sin2(x-8П) = 1-cos2(16П – х)

 

Обобщение. В живом организме органы, ткани, клетки работают ритмически, даже мембрана клетки пропускает ионы в определенном порядке. Нарушение ритма – признак нарушения жизнедеятельности организма. Схема ритмов многоярусна. На нижнем ярусе - клеточные и субклеточные. Более сложные – тканевые ритмы служат основой для ритмической деятельности органов, а последние обуславливают ритмичность организма в целом. Обитатели планеты Земля миллионы лет приспосабливались к ее движению вокруг оси и Солнца. День сменяет ночь, сон, бодрствование, прием пищи, подъем и спад работоспособности определяются движением Земли. Каждый организм подчиняется сезонной периодичности. Но и Солнце диктует также свои законы. Рост дерева изменяется в зависимости от состава и интенсивности солнечного излучения, а оно изменяется с периодом в 11 лет. Наиболее широкие кольца в поперечном разрезе дерева повторяются через каждые 10. Учащиеся приводят примеры периодических процессов живой и неживой природы из биологии. В результате приливно отливных явлений, вызванных Луной, дважды в сутки вздымается поверхность Земли, и Москва, со всеми своими зданиями, поднимается почти на 0,5 метра. Многие цветы закрывают венчики с наступлением темноты. У большинства животных наблюдается периодичность появления потомства. Имеются периодические изменения интенсивности фотосинтеза у растений. Сердце – пример колебательной системы. Работу живого сердца можно наблюдать на графике кардиограммы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках. По графикам можно определить отклонение в протекании процессов живой и неживой природы и предпринять необходимые меры.

 

Итог: Живая и неживая природа подчиняются одним и тем же законам диалектического развития.