Задание 1

1. В урне имеется 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый? Затем шар возвращается в урну, а затем вынимают три шара. Какова вероятность того, что все шары черные?
2. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
3. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что второй студент взял «хороший» билет.
4. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди 6 изделий 2 окажутся бракованными.
5. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года ,
6. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков?
7. А и В и еще9 человек стоят в очереди. Определить вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами?
8. В шкафу находятся 10 пар ботинок различного вида. Из них случайно выбираются 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные.
9. В лифт семиэтажного дома вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.
10. Ребенок играет с 7 буквами разрезной азбуки: Б, А, Р, А, Б, А, Н. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «БАРАН»?

 

 

Задание 2

1. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0.7, для второго 0.8. Какова вероятность попадания в волка?
2. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
3. Общество из 12 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
4. Для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 0.5. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?
5. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
6. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
7. В ящике 10 красных, 6 белых и 8 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
8. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика вынут один белый шар, если из каждого ящика было вынуто по два шара.
9. В круг радиуса 20 вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что
   поставленные наудачу внутри круга 2 точки окажутся внутри квадрата.
10. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого, перепутав все шляпы, она повесила их наугад. Найти вероятность того, что ровно два лица получат свои шляпы.

 

 

Задание 3

1. Три автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго и на 10% меньше производительности третьего. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй - 84%, а третий - 72%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
2. В урну, содержащую три шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
3. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
4. В вычислительной лаборатории имеются 6клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0.95; для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет 'на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
5. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность в три раза больше. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
6. В больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 35% - с заболеванием В, 15% - с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0.7; для болезней В и С эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.9. Человек был выписан из больницы здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием С.
7. Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)
8. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.8, для второго 0.45. После стрельбы в мишени обнаружена, одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
9. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
10. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти
    вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности
    попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно
    'равны 0.5, 0.74 и 0.83.

 

Задание 4

1. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. 'Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
2. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб.дм. воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
3. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
5. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две - правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
6. Имеется общество из 560 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
7. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
8. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
9. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 780 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят не менее 4 абонентов?

 

 

Задание 5

1. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0.99 границы, в которых будет заключено число m выпадения шестерки.
2. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 95 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0.515..
3. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
4. Всхожесть семян данного посаженного растения равна 0.9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830..
5. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0.8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0.04.
6. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?
7. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.5. Найти такое положительное числое, чтобы с вероятностью 0.77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0.5 не превысила е.
8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.74. Сколько-нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что число событий появится не менее 85 раз?
9. Найти вероятность того, что событие А наступит 1560 раз в 2450 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.65.
10. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

 

Задание 6

1. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0.75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны годными.
2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.3. Найти число испытаний п, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.
3. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0.1.
4. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений событий в этих испытаниях равно 25?
5. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, а для второго - 0.6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.
6. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0.2. Найти: а) наивероятнейшее число, отказавших элементов; б) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.
7. Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0.3. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий.
8. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество равно 7.
9. Производится 10 выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.43. Найдите вероятность того, что число попаданий равно наиболее вероятному числу попаданий.
10. Вероятность того, что телефонный автомат при опускании жетона сработает, равна 0.97. Сколько нужно опустить жетонов, чтобы наиболее вероятное число случаев срабатывания телефонного автомата было равно 100?

 

Задание 7

1. Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0.1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
3. Написать закон распределения дискретной случайной величины X - числа появления «герба» при трех бросаниях монеты. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
4. Две игральные кости одновременно бросают три раза. Написать закон распределения случайной величины X - числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
6. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту не более 5 дополнительных вопросов. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только' студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0.8. Составить закон распределения случайной дискретной величины X - числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
7. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0.7. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется, но их число не превышает 6. Требуется составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа патронов, выданных стрелку. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
8. Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0.7, вторым - 0.8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины X - числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
9. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки
   наудачу извлекаются   3   карандаша.   Найдите   закон   распределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.
10. Имеется 6 ключей, из которых только два подходят к замку. Найдите
    закон распределения случайной величины X, равной числу проб при
    открывании замка, если испробованный ключ в последующих
    опробованиях не участвует. Построить многоугольник распределения.
    Построить функцию распределения и начертить ее график.

 

 

Задание 8

1. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0.8. Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и. средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется не меньше трех.
2. Длина изготавливаемых изделий представляет собой случайную величину, среднее значение которой равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0.0225. Используя неравенство Чебышева оценить вероятность того, длина изделия выразится числом, заключенным между 89.7 и 90.3 см.
3. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.5. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.
4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

 

X	0.35	0.57	0.86
р	0.2	0.3	0.5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что X - М(Х) < 0.25

5. Среднее значение скорости ветра у Земли в данной местности равно 20 м/с. Оцените снизу вероятность того, что при одном наблюдении данной местности скорость ветра окажется 65 м/с.
6. Среднее значение начальной скорости снаряда равно 400 м/с. Какие начальные скорости снаряда следует ожидать с вероятностью не меньшей 0.5?
7. Средняя температура в квартире в период отопительного сезона равна 22 градусам, а среднее квадратическое отклонение равно 2 градусам. С помощью неравенства Чебышева оцените снизу вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине менее чем на 5 градусов.

8. Вероятность рождения девочки приблизительно равна 0.485. Оцените снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого числа по абсолютной величине менее чем на 55 девочек.
9. Оцените вероятность того, что частота появления четверки в 5000 независимых бросаниях игральной кости отклонится от вероятности появления четверки по абсолютной величине меньше чем на 0.03.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X	0.5	0.7	0.8
р	0.12	0.43	0.45