Алгоритм исследования функций
с помощью производной.
- Найти область определения функций.
- Определить четность функции.
- Определить точки пересечения с осью OX.
- Определить точки пересечения с осью OY.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки x1, x2,x3…
- Отметить критические точки на числовой прямой.
- Определить знак производной на каждом получаемом интервале.
- Составить таблицу:
X |
(-∞;x1) |
X1 |
(x1;x2) |
X2 |
(x2;x3) |
X3 |
(x3;+∞) |
f(x) |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
В первой строчке указаны в порядке возрастания критические точки и ограниченные ими промежутки.
Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках.
В третьей строке стрелочкой отмечается убывание или возрастание функции.
В четвертой строке отмечается, будет ли критическая точка точкой max.min или перегиба.
- В случае необходимости берем дополнительные точки
- Строим график.
Алгоритм доказательства теоремы
- Исследование формулировки теоремы
1.1 выделить элементы;
1.2 определить элементы, находящиеся в связях между собой;
1.3 установить виды отношений между ними
1.4 выделить элементы, не включенные в отношения;
1.5 определить между ними возможные виды норм отношений
- Спроектировать чертеж видов отношений
- Доказать нормы отношений между элементами, не связанными между собой по условиям теоремы.
Прямое доказательство:
3.1 исследовать по чертежу элементы, нормы отношений;
3.2 определить новые связи;
3.3 подобрать аксиомы предыдущих теорем для доказательства.
3.4 обосновать возможные отношения;
3.5 сформулировать выводы о видах, нормах отношений.
Доказательство от обратного:
3.1 исследовать по чертежу элементы норм отношений:
3.2 выдвинуть гипотезы о невозможности заявленных видов и норм отношений:
3.3 исследовать возможности других видов норм отношений;
3.4.1 сравнить гипотезы с условием теоремы;
3.4.2 выявить противоречия;
3.4.3. доказать невозможность гипотетических отношений. Найти аргументы;
3.4.4. сформулировать выводы о видах, нормах отношений.
Алгоритм написания уравнения касательной
- Вычислить f (x0)
- Вычислить f (x)
- Вычислить f (x0)
- Подставить в уравнение касательной y=f (x0) + f (x0)*(x-x0) найденные значения f (x0) f (x0) и x0
Алгоритм решения системы уравнений
- Исследование образа системы
1.1 выделить элементы;
1.2 определить элементы, находящиеся в связях между собой:
1.3 установить: виды и нормы отношений между ними
- Проектирование тождественных преобразований для решения системы
2.1 привести каждое уравнение к общему знаменателю:
2.2 открыть скобки;
2.3 привести подобные;
2.4 привести систему уравнений к уравнению с одним известным;
2.5 решить уравнение по алгоритму решения уравнения (найти неизвестное)
- Произвести эти преобразования.
- Если необходимо сделать проверку
- Записать ответ.
Алгоритм решения системы неравенств
- Исследование
1.1 выделить элементы;
1.2 определить элементы, находящиеся в связи между собой;
1.3 установить виды и нормы отношений между ними.
2.1 Применить алгоритм решения каждого неравенства, входящего в систему
2.2 Изобразить решение каждого неравенства на числовой прямой
2.3 Найти множество решений, которые являются решениями каждого неравенства системы
- Произвести действия
- Записать ответ.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- Найти область определения функции.
- Вычислить производную функции
- Найти критические точки
- Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, входящих в отрезок.
- Среди полученных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее
Алгоритм решения уравнения
- Исследовать образ
1.1 Выделить элементы
1.2 Установить виды и нормы отношений между ними
- Привести к стандартному виду
2.1. Привести к общему знаменателю
2.2 Открыть скобки
2.3 Привести подобные члены
2.4 Применить алгоритм решения стандартного уравнения
Или:
2.1 Разложить на множители
2.2 Приравнять каждый множитель к 0
2.3 Привести каждый множитель к стандартному виду
2.4 Применить алгоритм решения стандартного уравнения
Или:
2.1 Ввести новую переменную
2.2 Привести к стандартному виду
2.3 Применить алгоритм решения стандартного уравнения
2.4 Найти новую переменную
2.5 Найти неизвестное данного уравнения.
- Если нужно, сделать проверку
- Записать ответ
Алгоритм решения неравенств
- Исследование образа неравенства.
1.1 Выделить элементы:
1.2 Определить элементы, находящиеся в связи между собой
1.3 Установить виды и нормы отношений между ними
- Проектирование тождественных преобразований данного неравенства к стандартному.
2.1 Привести к общему знаменателю;
2.2 Открыть скобки;
2.3 Привести подобные члены
2.4 Привести к стандартному виду неравенства
2.5 Применить алгоритм решения стандартного неравенства
- Произвести эти преобразования
- Если нужно, изобразить множество решений неравенства на числовой прямой
5.Записать ответ.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений
- Исследовать к какому типу относится уравнение.
- Если уравнение квадратное относительно одной тригонометрической функции, то обозначают ее через t, подставляют в уравнение и решают по дискриминанту. Определив значение тригонометрической функции, решают по формулам решения простейших тригонометрических уравнений.
- Если в квадратном уравнении есть разные функции, то нужно заменить, чтобы была одна функция и решать как во втором случае.
- Однородные уравнения первой степени решаются делением всех членов уравнения на cos x.
- Однородные уравнения второй степени решаются делением всех членов уравнения на cos x . Полученное квадратное уравнение относительно tg x решается как во втором случае.
- Если уравнение имеет аргументы x и 2 x, нужно воспользоваться формулами двойного угла.
- Если произведение функций равно 0, то каждый сомножитель, зависящий от x приравнивается к 0.
Алгоритм решения задач
- Исследовать условие задачи.
- Выделить элементы
- Определить связи между элементами
- Выявить элементы, не включенные в отношения
- Определить нормы отношений между ними
- Создание чертежа (перевести русский текст на геометрический)
- Доказать виды норм отношений между элементами, не связанных между собой по условию задачи.
- Алгоритм прямого доказательства
- Алгоритм метода от противного.
Алгоритм построения графиков
- Исследовать задания
- Составление таблицы значений координат точек графика
- Построить точки в системе координат
5 СИСТЕМА СРЕДСТВ КОНТРОЛЯ
Ситуация 16
Тест «Тригонометрические функции »
Вариант 1
Часть 1
- Сравните и
1) = 2) > 3) <
Эталон 3 Р-3
- Закончите предложение так, чтобы получилось « Функция …»
1) не является чётной
2) является чётной
3) не является ни чётной, ни нечётной
Эталон 1 Р-3
- Зная, что и , найдите
1) 2) 3)
Эталон 1 Р-3
- Решите уравнение sin 2x = - 1
1) 2) 3)
Эталон 3 Р-3
Часть 2
- Решите уравнения
1) 2) 3)
Эталон 2 Р-3
- Существует ли такой угол , для которого ?
1) да 2) нет
Эталон 2 Р-2
- Упростите выражение
1) 2) 3)
Эталон 3 Р-3
- Решите уравнение
1) 2) 3)
Эталон 1 Р-3
Тест «Тригонометрические функции »
Вариант 2
Часть 1
- Сравните и
1) = 2) < 3) >
Эталон 3 Р-3
- Закончите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: «Функция …»
1) не является ни чётной, ни нечётной
2) является чётной
3) является нечётной
Эталон 2 Р-3
- Зная, что и , найдите
1) 2) 3)
Эталон 1 Р-3
- Решите уравнение cos 2x = 1
1) 2) 3)
Эталон 2 Р-3
Часть 2
- Решите уравнение
1)
2)
3)
Эталон 3 Р-3
- Существует ли угол , для которого
1) да 2) нет
Эталон 2 Р-2
- Упростите выражение
1) cos2 2) sin2 3) -sin2
Эталон 2 Р-3
- Решите уравнение
1) 2) 3)
Эталон 3
Ситуация 22
Тест «Тригонометрические функции. Решения тригонометрических уравнений».
Вариант 1.
- Найдите значения выражения
а) 2,5 |
б) 1,25 |
в) 1,75 |
г) 1,5 |
Эталон в Р-4
- Упростите выражение
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон г Р-4
- Дано: и Найдите
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон а Р-4
- Упростите выражение
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон б Р-4
- Что можно сказать о функции
а) четная |
в) ни четная, ни нечетная |
б) нечетная |
г) периодическая. |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон а Р-4
- Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень на промежутке
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон в Р-4
Тест «Тригонометрические функции. Решения тригонометрических уравнений».
Вариант 2.
- Найдите значения выражения
а) |
б) |
в) |
г) 4,5 |
Эталон в Р-4
- Упростите выражение
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон б Р-4
- Дано: и Найдите
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон б Р-4
- Упростите выражение
а) -tga
|
б) tga |
в) ctga |
г) -ctga |
Эталон а Р-4
- Что можно сказать о функции
а)четная |
в) ни четная, ни нечетная |
б)нечетная |
г) периодическая. |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон в Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон б Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон г Р-4
- Решите уравнение
а) |
в) |
б) |
г) |
Эталон г Р-4
- Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень на промежутке
а) |
б) |
в) |
г) |
Эталон а Р-4
Ситуация 35
Тест «Производная и ее применение».
Вариант 1.
- Найдите производную функции и вычислите ее значение при x=-1
а)-2.5 б)1.5 в)-1.5 г) 2,5
Эталон в Р-4
- Найдите y'(x), если
а) б) в) г)
Эталон г Р-4
- Найдите производную функции
а) б) в) г)
Эталон а Р-4
- Найдите значение y'(0.5), если
а) 3 б) 4/3 в) г) 2
Эталон б Р-4
- Для функции вычислите
а) 6 б)-3 в)-1.5 г)0.5
Эталон б Р-4
- . Найдите
а)15 б)7.5 в)2.75 г)0.5
Эталон г Р-4
- . Решите уравнение .
а) 0;2 б) в) -; г)-2;2
Эталон в Р-4
- . Решите неравенство .
а) б) в) г)
Эталон б Р-4
- ; ; Решите уравнение .
а)12 б)8.5 в)2.5 г)6
Эталон г Р-4
- Точка движется по координатной прямой по закону. Найдите .
а)-5 б)14 в)19 г)4
Эталон г Р-4
- Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
а) у=-2х-3 б)у=2х-1 в)у=-2х+3 г)у=2х+3
Эталон в Р-4
- Найдите точки экстремума функции
а)xmax=3; xmin=0. б) xmax=0; xmin=3. в) xmin=3. г)Ø
Эталон б Р-4
13.Найдите промежутки убывания функции
а) б) в) г) Ø
Эталон в Р-4
- Найдите наибольшее значение функции на
а)1/9 б)1 в)-1 г)
Эталон в Р-4
Тест «Производная и ее применение».
Вариант 2.
- Найти производную функции и вычислите ее значение при x= -2.
а)-3 б)-5 в)2 г)3
Эталон а Р-4
- Найдите y'(x), если
а) б) в) г)
Эталон в Р-4
- Найдите производную функции
а) б) в) г)
Эталон б Р-4
- Найдите значение y'(-0.5), если
а)-0.5 б)4 в)-2 г)0.5
Эталон в Р-4
- Для функции вычислите
а)5 б)-5 в)-10 г)10
Эталон б Р-4
- Дана функция . Найдите
а)-7.5 б)-25.5 в)15.5 г)-0.5
Эталон б Р-4
- . Решите уравнение .
а) б) ;3 в) 0; г)- ;
Эталон г Р-4
- . Решите неравенство .
а) б) в)Ø г)
Эталон а Р-4
- ; ; Решите уравнение .
а)16 б)0.25 в)4 г)25
Эталон г Р-4
- Точка движется по координатной прямой по закону . Найдите .
а)9 б)25 в)1 г)-25
Эталон в Р-4
- Найти уравнение касательной к графику функции в точке
а)у=2х-6 б)у=10х+12 в)у=4х+8 г)у=-10х+8
Эталон б Р-4
- Найдите точки экстремума функции
а)xmax=-1.5; xmin=0. б) xmax=0; xmin=-1.5. в) xmin=-1.5. г) xmax=1.5
Эталон в Р-4
13.Найдите промежутки возрастания функции
а) б) в) г)
Эталон б Р-4
- Найдите наибольшее значение функции на
а)26 б)19 в)30 г)
Эталон а Р-4
Тест « Производная и её применение »
Вариант 3
Часть 1
- Найдите производную функции f(x) = 21x3 – 15x2
1) 21x3 – 15x2 2) 21x2 – 15x 3) 63x3 - 30 x2 4) 63x2 - 30 x
Эталон 4 Р-4
2) Для какой из функций производная задаётся формулой y` = 9x2 + sin x?
1) 3x3 – cos x 2) 3x3 + cos x 3) 9x – cos x 4) x3 + sin x
Эталон 1 Р-4
- Чему равно значение производной функции y = x3 – 3x в точке x0 = - 1?
1) 1 2) 0 3) 6 4) – 1
Эталон 2 Р-4
- Определите промежуток возрастания функции y = f(x), если данные о её производной указаны в таблице:
x |
(-∞; -9) |
- 9 |
(-9; -1) |
- 1 |
(-1; 3) |
3 |
(3; + ∞) |
y` |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
1) ( - ∞ ; 3 ) 2) ( - 9 ; - 1 ) 3) ( - ∞ ; - 9 ) ( - 1 ; 3 ) 4) ( 3 ; + ∞ )
Эталон 3 Р-4
- Найдите точки минимума функции g(x) = 4x -
1) 3 2) 1 3) – 4 4) – 2
Эталон 4 Р-4
Часть 2
- Найдите производную функции g(x) =
1) sinx 2) –sinx 3) cosx 4) 2sinx
Эталон 2 Р-4
- Найдите наибольшее значение функции y = на отрезке [- 1; 3].
1) 4 2) -4,5 3) 4,5 4) 5
Эталон 3 Р-4
- Найдите скорость изменения функции y = x3 + 2x в точке с абсциссой x0 = 1.
1) 5 2) 4 3) 1 4) 3
Эталон 1 Р-4
Тест « Производная и её применение »
Вариант 4 Часть 1
- Найдите производную функции f(x) = 15x5 – 13 x
1) 75x5 – 13 2) 15x6 – 13x2 3) 75x4 – 13 4) 75x5 – 13x
Эталон 3 Р-4
- Для какой из функций производная задаётся формулой y` = cos x – 20x3?
1) cos x - 5 x4 2) sin x - 20 x4 3) – sin x - 5 x4 4) sin x - 5 x4
Эталон 4 Р-4
- Чему равно значение производной функции
y = 5x2 – x4 в точке x0 = 1?
1) 6 2) 4 3) 3 4) 0
Эталон 1 Р-4
- Определите промежуток, в котором производная функции y = g(x) принимает отрицательные значения, если данные о функции y = g(x) указаны в таблице.
x |
(-∞;-12) |
- 12 |
(-12; -3) |
-3 |
(-3; -5) |
5 |
(5; + ∞) |
g |
3 |
-1 |
|
|
1) (- ∞ ; - 12 ) ( - 3 ; 5 ) 2) ( - 12 ; - 3 ) ( 5; + ∞ ) 3) ( - 12 ; - 3 ) 4) ( - ∞ ; 5 )
Эталон 2 Р-4
- Найдите точки максимума функции h(x) =
1) 2 2) 1, 5 3) – 1, 5 4) – 3
Эталон 3 Р-4
Часть 2
- Найдите производную функции f(x) =
1) sinx 2) 2sinx 3) –cosx 4) cosx
Эталон 4 Р-4
- Найдите наибольшее значение функции
y = на отрезке [ - 1 ; 3 ].
1) 22,5 2) 23 3) 21,5 4) 21
Эталон 1 Р-4
- Найдите скорость изменения функции
y = x2 – 3x в точке с абсциссой x0 = 1.
1) 1 2) 4 3) -1 4) 5
Эталон 3 Р-4
Ситуация 37
Тест «Аксиомы стереометрии.
Следствие из аксиом».
Вариант 1.
- В пространстве даны три точки А, В, С такие, что АВ=14 см., ВС=16 см., АС=18 см. Найдите площадь треугольника АВС.
а) 32 см2 б) 48 см2 в) 36 см2 г) 54 см2.
Эталон б Р-4
- Треугольник МКР – равносторонний со стороной, равной 12 см. Точка А лежит вне плоскости треугольника МКР, причем АК=АР=4см., а АМ=10 см. Найдите косинус угла, образованного высотами МЕ и АЕ соответственно треугольников МКР и АКР.
А) б) в) г)
Эталон в Р-4
- В плоскости α лежат точки В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ=5 см.; АС=7 см.; ВС=6 см.
а) 2 см б) 8см в) 12 см. г) 10 см.
Эталон а Р-4
Вариант 2.
- В пространстве даны три точки: М, К, Р такие, что МК=13 см., МР=14 см. и КР = 15 см. Найдите площадь треугольника МКР.
а) 42 см2 б) 42 см2 в) 84 см2 г) 42 см2.
Эталон в Р-4
- Треугольник АВС – равносторонний со стороной 8 см. Точка D лежит вне плоскости треугольника АВС, причем DВ=DС=5 см., DА=3см.
Найдите конус угла между высотами DК и АК соответственно треугольников ВDС и АВС?
а) б) в) г)
Эталон а Р-4
- Точки С и К лежат в плоскости β, а точка D – вне плоскости β. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если СD=СК=10 см., DК=4 5 см..
а) 8 см. б) 6см в) 6 см; г) 8 см.
Эталон г Р-4
Ситуация 42
Тест «Параллельность в пространстве».
Вариант 1
- Плоскость a пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно, причем АС . Найдите АС, если ВD : АD = 3 : 4 и DЕ = 10 см.
а) 12,5 см б) 7,5 см в) 24 см г) 23 см.
Эталон г Р-4
- Отрезок АВ пересекает плоскости a, точка С середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках А1,В1 и С1. Найдите СС1, если АА1 = дм и ВВ1 = дм.
а) 4 дм. б) 4 дм. в) дм. г) 2 дм.
Эталон г Р-4
- Сторону СD треугольника СDЕ пересекают плоскости a и b, параллельны стороне СЕ соответственно в точках К и Р, а сторону DЕ – в точках М и N, причем DК вдвое меньше РК, а СР вдвое больше РК.
Найдите СЕ, если КМ = 6 см.
а) 40 см. б) 36 см. в) 48 см. г) 42 см.
Эталон г Р-4
Вариант 2
- Плоскость пересекает стороны МР и КР треугольника МРК в точках N и Е соответственно, причем МК . Найдите NE, если MN : NP = 3 : 5 и MK = 12 см.
а) см б) 9 см в) 7,5 см г) 8, 5 см.
Эталон в Р-4
- Отрезок CD не пересекает плоскость , точка E середина CD. Через точки C, D и E проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках C1,D1 и E1. Найдите EE1, если CC1 = дм и DD1 = cм.
а) cм. б) cм. в) cм. г) 2 cм.
Эталон б Р-4
- Плоскости α и, параллельные стороне АВ треугольника АВС пересекают сторону АС в точках M и N, а сторону ВС – в точках Е и К. Отрезок MN в три раза больше СN, а отрезок АМ вдвое короче MN. Найдите АВ, если NЕ = 12 см.
а) 64 см б)72 см в)60 см г)66 см
Эталон г Р-4
Ситуация 49
Тест «Перпендикулярность в пространстве».
Вариант 1
- ABCD- квадрат, BM ^ (ABC). Найдите отрезок DM, если AB= см, а BM = 5 см.
а) 6 см б) 7 см в)6 см г)5 см.
Эталон б Р-4
- КО- перпендикуляр к плоскости α, КМ и КР – наклонные к плоскости α, ОМ и ОР -проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости α, если КМ = 15 см и КР = 10 см.
а) 18 см б)10 см в) 12 см г)12 см.
Эталон б Р-4
- АА1 – перпендикуляр к плоскости α,АС и АВ – наклонены к плоскости α .Длина перпендикуляра АА1 = .Угол А1АС = 600 и ÐАВА1 = 300, ВС = 4 см. Найти угол ÐАСВ
а) 300 б)600 в)450 г)900
Эталон в Р-4
- Треугольник АВС – прямоугольный, ÐС = 90°, АС = 8 см, ВС = 6 см. Отрезок СD-перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите СD,если расстояние от точки D до стороны АВ равно 5 см.
а)1,8 см б)2см в)2,5 см г)1,4 см.
Эталон г Р-4
Вариант 2
- CDEK – квадрат со стороной, равной 2 см. BD (CDE). Найдите расстояние от точки В до плоскости CDE, если BK = см.
а) 8 см б) 6 см в) 8 см г) 6 см.
Эталон в Р-4
- ВO – перпендикуляр к плоскости , ВА и ВС – наклонные, OА и OС – их проекции на плоскость , причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости , если АВ = 4 см и ВС = 12 см.
а)8 см б) 6 см в) 6 см г) 4 см.
Эталон г Р-4
- АВ и АС – наклонные в плоскости ,
АА1 – перпендикуляр, АС = 12, ВС = 5 см, АС ^ ВС и угол АВА1 = 600.
Найти длину перпендикуляра АА1 и проекцию наклонной АС
а) б) в) г)
Эталон а Р-4
- Треугольник АВС – прямоугольный, A = 600, С = 900. СН – высота треугольника АВС, причем СН = 8 см. Отрезок ВК перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Найдите отрезок ВК, если расстояние от точки К до стороны АС равно 20 см.
а) 12 см б) 15 см в) 8 см г) 10 см. Эталон а Р-4
Ситуация 52
Тест «Координаты в пространстве.Векторы».
Вариант 1
- Известны координаты вершин треугольника АВС:
А (2; -1; -3), В (-3; 5; 2), С (-2; 3; -5). ВМ - медиана треугольника АВС. Найдите длину ВМ.
а) б) в) г) .
Эталон г Р-4
- CDEF – параллелограмм: C (-4; 1; 5), D (-5; 4; 2), E (3; -2; -1), F (x; y; z). Найдите координаты точки F и в ответе запишите число, равное x+y+z.
а) –2 б) –3 в) 1 г) 2
Эталон в Р-4
- Даны точки М ( -4; 7; 0) и N (0; - 1; 2) Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
а) б) в) г)
Эталон а Р-4
- Даны координаты точек:
А( -3; 2 ; - 1), В( 2; -1; -3), С ( 1; -4; 3), D ( -1; 2 ; -2)
Найдите
а) б) в) г)
Эталон б Р-4
- Даны координаты точек:
С ( 3; - 2; 1) , D( -1; 2; 1), М( 2; - 3; 3), N( -1; 1; -2)
Найдите косинус угла между векторами СD и MN
а) 0,75 б)0,6 в) 0,7 г)
Эталон в Р-4
Вариант 2
- Известны координаты вершин треугольника CDE: C(-3; 4; 2), D(1; -2; 5), E(-1; -6; 4). DK – медиана треугольника. Найдите DK.
а) б) в) г).
Эталон а Р-4
- ABCD – параллелограмм: A(4; -1; 3), B(-2; 4; -5), C(1; 0; -4), D(x; y; z). Найдите координаты точки D и в ответе запишите число, равное x+y+z.
а) –3 б) –5 в) 6 г) 4.
Эталон в Р-4
- Даны точки М( -2; 1; 6) и N (0; 3; - 4) Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
а) б) в) г)
Эталон г Р-4
- Даны координаты точек:
А( 1; -1; -4), В(-3; -1; 0), С( -1; 2; 5), D( 2; -3; 1)
Найдите косинус угла между векторами АВ и CD.
а) 0,8 б) - 0,5 в) – 0,7 г) 0,6
Эталон г Р-4
- Даны координаты точек:
С( - 4; - 3; - 1;), D( - 1; - 2; 3), М(2; - 1; - 2), N(0; 1; - 3)
Найдите .
а) б) в) г)
Эталон в Р-4
Ситуация 66
Тест «Первообразная и интеграл».
Вариант 1
- Решите уравнение , если
а) - 3; 4 б) 3; - 4 в) - 2; 6 г) 2; - 6
Эталон в Р-4
- Найдите общий вид первообразных для функции
а) в)
б) г)
Эталон б Р-4
- , . Найдите
- a) - 8, 25 б) 10, 75 в) - 10, 25 г) 7, 75
Эталон г Р-4
4.Покажите с помощью стрелок, какие функции являются первообразными для функции
|
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
||||||||||
5.Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: функция F является первообразной для f на некотором промежутке, если …
а) б) в) г)f / (x)=F/(x)
Эталон б Р-4
6.Укажите функцию, для которой является первообразной
а) ; б) ; в) ; г) такой функции нет
Эталон в Р-4
7.Вычислите:
а) 27; б) 24; в) 18; г) 21
Эталон г Р-4
8.Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г)
Эталон а Р-4
9.Вычислите:
а) - 2; б) 2; в) - 3; г) 3
Эталон в Р-4
10.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой
а) ; б) 1,5; в) ; г)
Эталон а Р-4
Тест «Первообразная и интеграл».
Вариант 2
- Решите уравнение , если
а) -14; 2 б) 14;-2 3) -14;-2 г) 14;2
Эталон б Р-4
- Найдите общий вид всех первообразных для функции
а) ; в)
б) ; г)
Эталон б Р-4
- ; . Найдите
а) - 23; б) - 18; в) - 27; г) – 15
Эталон а Р-4
- Покажите с помощью стрелок, какие функции являются первообразными для функции
|
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
- Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: любая первообразная для функции может быть записана в виде …
а) ; б) ; в)
Эталон а Р-4
- Укажите функцию, для которой является первообразной
а) ; в)
б) ; г) такой функции нет
Эталон в Р-4
- Вычислите:
а) ; б) ; в); г)
Эталон б Р-4
- Вычислите:
а) ; б) 4,5; в) - 4,5; г) - 3,5
Эталон г Р-4
- Вычислите:
а) -3,5; б) 4,5; в) - 4,5; г) - 3,5
Эталон в Р-4
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой
а) ; б) ; в) ; г) 4,5
Эталон г Р-4
Тест «Первообразная и интеграл»
Вариант 3
Часть I
- Укажите функцию, для которой F(x) = 9x3 – x является первообразной на R.
1) 27x2 – 1 2) 3) 9x3 – 1 4) 3x 4 – x2
Эталон 1 Р-4
- Вычислите
1) – 14 2) 14 3) 0 4) 7
Эталон 2 Р-4
- Завершите предложение так, чтобы получилось верное высказывание: «Интеграл от непрерывной и неотрицательной функции, заданной на отрезке [a; b] …»
1) показывает площадь криволинейной трапеции;
2) скорость изменения функции;
3) показывает объём тела вращения.
Эталон 1 Р-3
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .
1) 1 2) 3) 4)
Эталон 2 Р-4
- Вычислите интеграл
1) – 1 2) 1 3) 12 4) 4
Эталон 2 Р-4
Часть 2
- Найдите первообразную функции f(x) = 4x4 – 1, график которой проходит через точку M (1; - 19 )
1) 2) 3) 4)
Эталон 4 Р-4
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 3 и y = 4
1) 2) 1,2 3) 4) 1,3
Эталон 1 Р-4
- Верно ли, что ?
1) нет 2) да
Эталон 2 Р-2
Тест «Первообразная и интеграл»
Вариант 4
Часть 1
- Укажите функцию, для которой F(x) = 3x2 + 2x является первообразной на R.
1) 6x3 + 2x2 2) 3x2 + 2x2 3) x3 + x2 4) 6x + 2
Эталон 4 Р-4
- Вычислите
1) -3 2) 0 3) 3 4) 2
Эталон 3 Р-4
- Завершите предложение так, чтобы получилось верное высказывание: «Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиками непрерывной и неотрицательной функции y = h(x) , прямыми x = a, x = b, ( a < b) и отрезком [ a ; b ] оси ОХ вычисляется по формуле…»
1) ;
2) , где H – первообразная функции y = h(x)
3)
Эталон 2 Р-3
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , и .
1) 2) 3) 1 4) 2
Эталон 1 Р-4
- Вычислите интеграл
1) 1 2) – 1 3) – 5 4) 5
Эталон 1 Р-4
Часть 2
- Найдите первообразную функции g(x) = 5x4 + 2, график которой проходит через точку N ( - 1 ; 8 )
1) 2) 3) 4)
Эталон 4 Р-4
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 – x2 и y = 2.
1) 2) 1,2 3) 4) 1,3
Эталон 3 Р-4
- Верно ли, что
1) да 2) нет
Эталон 1 Р-4
Ситуация 73
Тест «Показательные уравнения
и неравенства».
Вариант1.
- Вычислите .
Эталон б Р-4
- Решить уравнение:
Эталон г Р-4
- Решить уравнение и запишите сумму корней.
Эталон б Р-4
- Решить неравенство
Эталон в Р-4
- Решить уравнение
Эталон г Р-4
6.Решите неравенство
Эталон а Р-4
- Найдите производную функции
; ;
Эталон б Р-4
- Найдите скорость изменения показательной функции y(x) = 3 ∙ eх + x , в точке x0 = 0
а) 3 б) 2 в) 4 г)9
Эталон в Р-4
- Покажите стрелками те функции, производные которых задаются формулой
y = 4x + x + 4 y = 4x + x y = 4x ∙ 4 +x
y = 4x ∙ x + x y = 4ex + x y = ex + 4x
Тест «Показательные уравнения
и неравенства».
Вариант 2
- Вычислите 9-
а)
Эталон г Р-4
- Решить уравнение
Эталон г Р-4
- Решите уравнение и запишите сумму корней.
а) -1 б) 1,5 в) -2 г) 1
Эталон а Р-4
- Решить неравенство
а) б) в) г)
Эталон а Р-4
- Решите уравнение
Эталон б Р-4
- Решите неравенство
Эталон в Р-4
- Найдите производную функции y(x)=3x-1
а) б)3xln3 в)-x г)3x
Эталон б Р-4
- Найдите скорость изменения показательной функции в точке х0 = 0
а) 9; б)14; в)5; г)4.
Эталон а Р-4
- Покажите стрелками те функции производные, которых задаются формулой:
y = 4x + 10 y = 10x – x y + 10x + 10
y = 10x ∙ x2 y = 10 ∙ ex
y = 7x + 10
Ситуация 81
Тест Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.
Вариант 1.
1.Найдите значение выражения: log1255 - log√2 + log2,50,4
а) 3,5; б) 4,5; в) 1; г) - 2
Эталон в Р-4
- Вычислите 9log36 -1,5
а) 2,5; б) ; в) 1,5; г) 1
Эталон г Р-4
- Решите уравнение и запишите произведение корней log4х = -1,5 и logх = - а) ; б) 1; в) 9; г) 8.
Эталон б Р-4
- Решите уравнение и запишите сумму квадратов его корней.
log0,25 (х2-3х) = - 1
а) 20; б) 15; в) 17; г) 13.
Эталон в Р-4
- Решите уравнение: logх8 log0,5 = log9.
а) ; б) ; в) ; г) 4.
Эталон г Р-4
- Решите неравенство log (4 - х) > - 1
а) (; 6); б) (1,5; 2); в) (1,5; 6); г) (- ; 1,5).
Эталон в Р-4
- Найдите производную функции у = 3lnх – 2.
а) 3х; б) 3lnх; в) 3ln3 – 2х; г) .
Эталон г Р-4
- Найдите значение производной функции у = + lnх в точке х0 = 1
а) 2; б) l + 1; в) 1; г) l.
Эталон в Р-4
Тест Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.
Вариант 2.
- Найдите значение выражения log√3 - log0,25 + log644
а) - ; б) ; в) - 2; г) - 1
Эталон а Р-4
- Вычислите - 41,5-log1625
а) 2,5; б) 1,5; в) 2,6; г) 1,6.
Эталон г Р-4
- Решите уравнения log8х = - и logх0,2 = - 0,5 и запишите произведение корней.
а) 4,2; б) 25,25; в) 6,25; г) 0,8.
Эталон в Р-4
4.Решите уравнение и запишите сумму квадратов его корней
log (х2 + 8х) = - 2
а) 68; б) 60; в) 72; г) 82.
Эталон г Р-4
- Решите уравнение log9(9х) · logх = log
а) 9; б) ; в) ; г) 3.
Эталон б Р-4
- Решите неравенство log(8 - х) > - 2
а) ( - ; - 35) (10; +); в) (10; +);
б) (35; - 10); г) (- ; - 10) (35; +)
Эталон б Р-4
- Найдите производную функции у = 4 – 5lnх.
а) 4х – 5ln5; б) -; в) - 5х; г) 5ln5.
Эталон б Р-4
- Найдите значение производной функции у (х) = 2lnх - e в точке х0 = 2
а) 1; б) 4; в) 0; г) 3.
Эталон а Р-4
Тест « Показательная и логарифмическая функция »
Вариант 3
Часть 1
- Решите уравнение - 5- 14 = 0
1) 1 2) – 1 3) 0 4) 2
Эталон 2 Р-4
- Найдите значение выражения 0, 2 log5 3
1) – 3 2) 3) 3 4) 2
Эталон 2 Р-4
- Решите уравнение log 3 ( x + 1 ) + log 3 7 = 2
1) 2) 3) 7 4) 1
Эталон 1 Р-4
- При каких значениях х функция y = log 3 ( 2x – 3 ) принимает положительные значения?
1) x > 1 2) x > 1, 5 3) x > 2 4) 1, 5 < x < 2
Эталон 3 Р-4
- Найдите производную функции y = 3 ln x – 2
1) 3x 2) 3 ln x 3) 4) - 2x
Эталон 3 Р-4,
Часть 2
- Найдите экстремум функции g(x) = ex – x
1) 1 2) 2 3) -1 4) 0
Эталон 1 Р-4
- Решите систему уравнений
1) (2,5; 5,5) 2) (2; 5) 3) (1; 2,5) 4) (2,5 ; 5)
Эталон 1 Р-4
- Решите неравенство log 0,3 ( 6x – 2 ) < log 0,3 ( 7 – 3x )
1) (1;2) 2) (1; 2,5] 3) (1; 2) 4) [1; 2)
Эталон 3 Р-4
Тест « Показательная и логарифмическая функция »
Вариант 4
Часть 1
- Решите уравнение + 5- 24 = 0
1) 3 2) 3) 1 4) – 1
Эталон 4 Р-4
- Найдите значение выражения
23 log2 5
1) 11 2) 15 3) 40 4) 125
Эталон 4 Р-4
- Решите уравнение log2 ( 5x – 3 ) = 3 + log2 5
1) 5 2) 5, 6 3) 8, 6 4) 7, 6
Эталон 3 Р-4
- При каких значениях x функция y = log2 (5 – 2x ) принимает отрицательные значения?
1) 2< x < 2, 5 2) x < 2 3) x > 2, 5 4) x > 2
Эталон 1 Р-4
- Найдите производную функции y = 4 – 5 ln x
1) 4x – 5 ln x 2) + 4 3) – 5x 4) -
Эталон 4 Р-4
Часть 2
- Найдите экстремумы функции
g(x) = xex
1) 2) e 3) 4) -e
Эталон 3 Р-4
- Решите систему уравнений
0,2x • 0,2y= 25
2x • 0,5 = 2-6
1) (4; 2) 2) -4; 2) 3) (4; -2) 4) (-4; -2)
Эталон 3 Р-4
- Решите неравенство
log3 ( 2 – x ) < log3 ( 4x – 3 )
1) (1; 2) 2) (0; 2) 3) (-1; 2) 4) (1; -2)
Эталон 1 Р-4
Ситуация 91
Тест «Многогранники. Параллелепипед. Призма. Пирамида».
Вариант 1
- Площадь диагонального сечения куба равно . Найдите площадь поверхности куба.
а) б) 24 в) 36 см2 г)48 см2
Эталон г Р-4
- Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой.
Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания
а) б) в) г)
Эталон в Р-4
- Найдите высоту треугольной пирамиды, если все её боковые рёбра по
см, а стороны основания равны 10см, 10см и 12 см
а) см б) в) см г)1,5 см
Эталон а Р-4
- Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной
пирамиды, если диагонали сечения пирамиды – прямоугольный
треугольник, площадь которого равна 32см2
а) 108 см2 б) см2 в)см2 г) 96см2
Эталон в Р-4
Вариант 2
- Площадь поверхности куба равна 18 см2. Найдите площадь
диагонального сечения этого куба
а) см2 б)6 см2 в) г) 8 см2
Эталон б Р-4
- Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой.
Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.
а) б) в) г)
Эталон б Р-4
- Найдите высоту треугольной пирамиды, если все её боковые рёбра по
см, а стороны основания равны 5 см, 6 см и 5 см
а) 0, 75 см б) см в) см г) см
Эталон г Р-4
- Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной
пирамиды, если её диагональное сечение – равносторонний
треугольник, площадь которого равна см2
а) см2 б) см2 в)см2 г) 12см2
Эталон в Р-4