Реализация идей личностно-ориентированного развивающего обучения при изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в 10-м классе

Решение простейших тригонометрических уравнений

Добавить комментарий

Урок 6

Обучающая карточка №1

Реализация идей личностно-ориентированного развивающего обучения

при изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в 10-м классе

№ урока	Тип урока	Содержание
1	Изучение нового материала	Решение простейших тригонометрических уравнений.
2	Урок- соревнование	Отработка навыков решений простейших тригонометрических уравнений.
3	Комбинированный	Решение тригонометрических уравнений и их систем. Методы вынесения общего множителя за скобки, замены переменной, с помощью тригонометрических формул.
4	Комбинированный	Однородные тригонометрические уравнения.
5	Практикум	Решение тригонометрических уравнений. Методы оценки, понижения степени, введение вспомогательного угла.
6	Обобщающий	Классификация тригонометрических уравнений по типам. Методы их решений.
7	Контрольная работа	На контрольной работе учащиеся заполняют лист.

Что знаю хорошо	Что умею хорошо	Что было особенно интересно	Как оцениваю свои
			знания	умения	организацию	отношение

Урок 1.

Тема:

Цели и задачи урока:

Образовательные – ознакомить учащихся с решением простейших тригонометрических уравнений.

Развивающие – развивать познавательный интерес, развивать и совершенствовать умения самостоятельно «добывать» знания, умение делать выводы и обобщать.

Воспитательные – воспитывать настойчивость в учебе, внимание и аккуратность.

Содержание урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I. Мотивационно - ориентировочная часть
1) Проверка д/з с помощью ПК.
№125(а,б,г) Имеет ли смысл выражение? а) , б), г)? №131(а) Вычислите: с помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: а) ⁼⁰ ^б)^sin^{x = - 2} ^{Решите уравнение графически.} ^а) б) cos x =1	Учащиеся поднимают руки и дают ответы, комментируют решения. а) да, б) нет, г) нет. а) На экране ответ: 1 корень. y=sinx y=2. ответ: корней нет. x=1 ответ: 1. y=cos x; y=1 x= 2pn, nÎZ ответ: 2pn, nÎZ
2) Вопросы: Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие способы решения уравнений вы знаете?
Класс разделен на 6 групп. Задания 1 и 3 группе:
Задания 2 и 4 группе:
Задания 5 и 6 группе:
	Представители 1,2 и 5 групп отсчитываются о проделанной работе.
Учитель следит за правильностью ответов. Вопрос: как с помощью единичной окружности решить уравнение ? На экране:	1 группа отвечает и комментирует рисунок.
II. Операционно-исполнительская часть:
Итак, мы умеем решать уравнения sinx==a, cosx=a, tgx=a графически. И поэтому, нам надо изучить вопрос о выводе формул решения простейших тригонометрических уравнений.	Задания: 1 и 3: sinx==a 2 и 4: cosx=a 5 и 6: tgx=a Результаты записываются на доске, комментируются, дополняются (причем 1,2,5 – решают с помощью графиков; 3,4,6 – на единичной окружности).
Тригонометрические уравнения sin x = a
\|a\|>1, то решений нет	x1=arcsina+2pn, nÎZ x2=p - arcsina+2pn, nÎZ
x = (-1)^k arcsina+pk, kÎZ
Тригонометрические уравнения cos x = a
\|a\|>1, то решений нет x = arccos a + 2pn, nÎZ x = -arccos a + 2pn, nÎZ	x1 = arccos a + 2pn, nÎZ x2 = -arccos a + 2pn, nÎZ
x = + arccos a + 2pn, nÎZ

При :	a	0	1	При :
	arcsin	0
	arccos		0
	arcsin a + arccos a =p/2

Тригонометрические уравнения tg x = a

x=arctg a + pn, nÎZ
Тригонометрические уравнения ctg x = a

x = arcctg a + pn, nÎZ

Частные решения

sinx=0	sinx=1	sinx=-1

x=pn, nÎZ	x=p/2+2pn, nÎZ	x=-p/2+2pn, nÎZ
cosx=0	cosx=1	cosx=-1

x=p/2+pn, nÎZ	x=2pn, nÎZ	x=p+2pn, nÎZ

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1) Индивидуальная работа.

Учитель осуществляет помощь в решении уравнений, корректирует применение знаний.

Учащиеся выполняют задания №№136-141(а,б). После выполнения проверяют правильность решений (ответы записаны за доской).

2) Работа в группах. Учащиеся решившие уравнения первыми, образуют 2 группы по 4 человека и выполняют следующие задания:

Решить уравнения: проверь:

	2x=…	, kÎZ
	^=…	nÎZ
		nÎZ

Остальные также образуют 4 группы по 4 человека и получают задания. Ученики 1 и 2 группы становятся консультантами.

3) Самооценка: заполняют таблицу и сдают учителю:

Ф. И. ученика
Задания	С каким состоянием выполнял	Отношение	Шкала участия в учебной работе (отметь точкой)
Работа в группе при выводе формул корней	А) интересно	А) сложно	0 10
	Б) ответственно	Б) нормально
	В) безразлично	В) легко
Решение уравнений 1-го уровня	А) интересно	А) сложно	0 10
	Б) ответственно	Б) нормально
	В) безразлично	В) легко
Решение уравнений 2-го уровня	А) интересно	А) сложно	0 10
	Б) ответственно	Б) нормально
	В) безразлично	В) легко

4) Инструктаж домашнего задания: п.9 №№139(в,г),141(в,г),142 – всем. 1 и 2 группе: +№144(а), 146(а).

Урок 2.

Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений».

Цели и задачи:

проконтролировать и закрепить знания, полученные учащимися на предыдущем уроке;
привитие навыков делового общения, воспитание чувства товарищества, взаимовыручки.

Оборудование:

карточки с заданиями;
планшеты с формулами решений тригонометрических уравнений, свойствами тригонометрических функций;
формулы привидения (раздаточный материал);
таблицы для игры в математический футбол и для преодоления «барьеров».

Ход занятия:

I. Организационный этап.

Учитель объясняет цели урока и делит класс с учетом желаний и возможностей на две команды, назначает консультантов в каждой команде.

II. Математическая эстафета.

Цель: отработать применение формул (на планшете) и частных формул:

sinx=a , |a|£1

x=(-1)^karcsin a +pn, nÎZ

По одному от команды учащиеся подбегают к доске, решают очередное уравнение и передают «палочку» (мел) по эстафете:

I	II



sin(x)=0	sin(x)=-1
sin(x)=1	sin(x)=1,5

Консультанты проверяют решения:

nÎZ	nÎZ
nÎZ	nÎZ
nÎZ	nÎZ
nÎZ	nÎZ
nÎZ	Нет решений, т.к. \|sinx\|£1, 1,5>1

III. Математический диктант.

Цель: отработать применение формул (на планшете) и частных формул.

cos x=a , |a|£1

x=+ arccos a + 2pn, nÎZ

Решить уравнения (с доски на листочках)
I	II

Ответы (заготовлены на закрытых крыльях доски):

nÎZ	nÎZ
nÎZ	nÎZ
nÎZ	nÎZ

Листочки сдают учителю.

IV. Математический футбол.

Консультанты раздают членам команд, сидящим в ряду первыми, чистые таблицы, заранее заготовленные в следующей форме:

Вид уравнения

Ответы

Члены команд, сидящие в ряду первыми, быстро придумывают тригонометрические уравнения, записывают их в первой колонке и «отфутболивают» следующему из своей команды. Тот решает, придумывает свой пример и «отфутболивает» следующему и т. д.

Вид уравнения	Ответы
	, nÎZ
cos(x) = 0,1	х=+ arcos(0,1)+2pn, nÎZ
sin(x)=-2	нет решений
ctg(x)=1	, nÎZ

Заполненные таблицы сдаются консультантам для проверки.

V. Преодоление барьеров.

Выдаются карточки с заданиями.

1 барьер: sin(ax)=b; |b|£1

I	II



sin(2x)=1	sin(2x)=-1

2 барьер: asin(bx)=c; acos(bx)=c

I	II
2sinx=1




cos(7x)=7	sin(3,5x)=3,5

3 барьер: sin(-a)=-sina

I	II

4 барьер: cos(-x)=cos(x)

I	II

После каждого барьера учащиеся сдают листочки с решениями консультантам, те проверяют и заполняют результаты в таблицу:

Фамилия имя ученика	Мат. эстафета	Мат. диктант	Футбол	№1	№2	№3	№4	Всего баллов	Оценка

Учитель рассказывает о практическом применении изучаемой темы: «Тригонометрические функции широко используются в механике, электротехнике. Гармонические колебания – это процесс, который может быть описан функцией вида y=Asin(wx+j). Колебания могут быть различными: чистый звуковой тон представляет собой единое колебание. Музыка, которую мы слышим, получается сложением колебаний. Еще в XVIII веке Д. Бернулли обнаружил некоторые свойства гармонических колебаний при решении задач, связанных с колебанием струны. Автором всей современной символики тригонометрии является гениальный математик Леонард Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик и механик, академик Петербургской академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Ему принадлежат замечательные слова «Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени, если бы древние не приложили столько усилий…»».

VI. Итог урока.

Консультанты сообщают результаты работы, учитель оценивает работу каждого.

VII. Домашнее задание.

Учебник «Алгебра 10-11» автор А. Н. Колмогоров

Всем: стр. 94, №23.

Индивидуально: составить самостоятельную работу на 2 варианта по 4 уровням, можно использовать упражнения стр.72 №№124-146.

Урок 3.

Тема: Решение тригонометрических уравнений и их систем.

Цели и задачи урока:

Образовательные: выработать с учащимися умение и навык решать тригонометрические уравнения заменой переменной, вынесением общего множителя за скобки, с помощью применения тригонометрических формул; решать системы тригонометрических уравнений способом подстановки.
Развивающие: развитие самостоятельности, умений сравнивать, обобщать, делать выводы.
Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Ход урока:

I. Проверка домашнего задания:

Вывод формул корней тригонометрических уравнений (3 учащихся готовятся к ответу) sin x=a, cos x=a, tg x=a.
Устная проверка №23 (решение – на кодопозитиве).
Устно разбирается самостоятельная работа учащихся, которые отвечают у доски теорию, оценивают работу и ответы (самостоятельная работа выполняется на кодопозитиве)
1. Изучение нового материала.

Задание: решить уравнение:

Вопросы:

1) Уравнение какого вида напоминает вам данное уравнение?

На квадратное.

Мы умеем решать эти уравнения. Поэтому введем новую переменную y=sinx, получим

kÎZ nÎZ

(учитель вызывает решить это уравнение учащегося)

За доской учащийся решает уравнение:

6(1-cos²x)+5cosx-2=0

6-6cos²x+5cosx-2=0

6cos²x-5cosx-4=0

пусть cosx=y,

6y²-5y-4=0

решений нет, т.к.

kÎZ |cosx|£1.

Ответ:

kÎZ

Остальные учащиеся решают в тетрадях, после окончания проверяют правильность решения.

3) tg²x-tgx=0

Как решить это уравнение?

Решить устно:

Вынеси общий множитель за скобки.

-tgx(tgx-1)=0

tgx=0 или tgx-1=0, tgx=1

nÎZ kÎZ

4) cos(6x)+cos(2x)=0

При решении этого уравнения нужно знание тригонометрических формул, а именно:

cosa + cosb =?

(вызывает к доске учащегося)

ученик: 2cos(4x)*cos(2x)=0

cos4x=0 или cos2x=0

nÎZ kÎZ

ответ: ,nÎZ

, kÎZ

5) x-=5/3p

sinx=2siny

Какие способы решений систем уравнений вы знаете?

Способ подстановки.

Способ сложения.

Рассмотрим эти решения на кодопозитиве (учащиеся слушают разъяснения и разбираются в предложенном решении).

Из первого уравнения находим y=x-5/3p. Тогда 2siny=2sin(x-5/3p)=2(sinxcos5/3p - cosxsin5/3p)=2(sinx*1/2+cosx*/2)=sinx+cosx

Второе уравнение примет вид:

sinx=sinx + cosx

cosx=0

nÎZ

ответ: nÎZ

III. Практикум по решению уравнений и их систем. Учащиеся разбиты на группы по 4 человека; каждая группа получает задание и двойные листы с копиркой для оформления решений каждым учеником.

№1

№2

1) Решить уравнение:

А) 2sin²x+3cosx=0

А) 5sin²x+6cosx-6=0

Б) 2cos²x+cosx=0

Б) 3tg²x+tgx=0

В) sin3x+sinx=0

В) cos3x-cosx=0

2) Решить систему уравнений:

x+y=p

cosx – cosy = 1

x-y=0

cos²x + sin²y=2

№3

№4

1) Решить уравнение:

А) 2cos²x+sinx+1=0

А) cos²x+3sinx=3

Б) sin2x+cosx=0

Б) cosx-sin2x=0

В) cos5x-cos3x=0

В) sin5x-sinx=0

2) Решить систему уравнений:

x+y=p

sinx + siny = 1

x+y=p/2

sin²x – sin²y = 1

Учитель собирает копии решений, включает кодоскоп и сообщает критерии оценки:

5-	Верны все задания
4-	Верны 3 задания и 1 негрубая ошибка
3-	Верны 2 задания и не более 1 грубой ошибки
2-	Верно 1 задание и более 2 грубых ошибок

Учащиеся осуществляют самопроверку и самооценку заданий.

Ответы к заданиям:

№1

№2

1 задание:

А) nÎZ

А) 2pn, nÎZ ; + arccos0,2 + 2pk, kÎZ

Б) ,nÎZ ; kÎZ

Б) pn, nÎZ; arctg(1/3)+pk , kÎZ

В) nÎZ; , kÎZ

В) pn, nÎZ; , kÎZ

2 задание:

y=p-x

cosx-cos(p-x)=1

cosx+cosx=1

2cosx=1

cosx=1/2

ответ: ,

nÎZ

x=p/2+y

cos²(p/2+y)+sin²y=2

sin²y+sin²y=2; sin²y=1

siny=1 или siny=-1

nÎZ

kÎZ

x=p+2pn, nÎZ

x=2pk, kÎZ

ответ:

nÎZ

kÎZ

№3

№4

1 задание:

А) nÎZ

Б) , kÎZ; , nÎZ

Б) ,nÎZ ; , kÎZ

В) pn, nÎZ; ,kÎZ или ,tÎZ

В) , nÎZ ; , kÎZ

2 задание:

y=p-x

sinx-sin(p-x)=1

2sinx=1

cosx=1/2

, nÎZ

, kÎZ

, nÎZ

, kÎZ

y=p/2-x

sin²x+sin2(p-x)=1

sin²x-cos²x=1;

cos²x-sin²x=-1;

cos2x=-1 ,

, nÎZ

Учитель с помощью консультантов из каждой группы проверяет работы с учетом самооценок подводит итоги работы.

IV. Постановка домашнего задания: п.11. №164,165(а,б), 168(в,г), 176(в,г).

Урок 4.

Тема: «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Цели и задачи урока:

образовательные – сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.
развивающие – развивать и совершенствовать умение применять имеющие у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление.
воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, чувство ответственности, культуру поведения.

Содержание урока.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Организационный этап

Подготовить учащихся к работе на уроке.

Быстрая готовность и включение в работу.

II. Этап проверки домашнего задания

1. Проверка решения д/з у доски. Письменно решить:

1) √3*tg2x + 1=0

2) 2cos(p/+3x)=0

3) 3cos²x-sinx – 1=0

Трое учащихся по вызову выходят к доске и решают уравнения.

2. Остальные – устный диктант.

1) вычислите: ; ;

; .

Поднимают руки и дают ответы.

2) решить уравнения:

1) sinx=0	2) cosx=-1
3) tgx=3	4) sinx=1,5
5) cosx=0,5	6) cos=-2

Проверка работы у доски.

Ученик комментирует своё решение.

3. Самостоятельная работа №1 (7 минут)

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение:

1) 2sinxcosx=1

1) cos²x – sin²x =1

2) cos²x-5cosx+1=0

2) 2sin²x = 3sinx – 2 =0

Вариант3 (по выбору)

1) √3*tg(6x+60⁰)+1=0

2) 6cos²x – 5sinx – 5 =0

III. Этап подготовки к активному и сознательному усвоению нового материала

На магнитной доске карточки с записью тригонометрических уравнений

cos(4x)-2=½

cos²x – 2cosx =0

cos²x – sin²x =1

3sin²x – 5sinx – 2 =0

2sinx – 3cosx =0

(tgx - √3)(2sin(x/2) +1) =0

3sin²x – 4sinxcosx + cos²x =0

Учащиеся отвечают, рассказывают как решить названное им уравнение (после чего карточка с записью данного уравнения убирается с доски).

Назвать те уравнения, которые вы знаете каким способом решить.

В результате на доске остались уравнения:

2inx-3cosx=0; 3sin²x-4sinxcosx+cos²x=0, которые учащиеся затрудняются решить.

IV. Этап усвоения новых знаний.

Внимание на плакат:

Тема: «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Уравнение вида asinx + bcosx = 0 где a≠0, b≠0, называется однородным.

Решим их.

1) 2inx-3cosx=0

если cosx=0, то чему равен sinx?

А это возможно?

Поэтому,

При делении уравнения

asinx + bcosx = 0 где cosx≠0 (или sin≠0)

корни этого уравнения не теряются.

Нет, т.к. sin²x + cos²x = 1

cosx≠0 и

2tgx = 3

tgx =1,5

x=arctg1,5+pn, nÎZ

Ответ: arctg1,5+pn, nÎZ

2) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x =0

Каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Какой мы делаем вывод?

Как мы решаем однородные уравнения?

Это уравнение однородное.

Мы делим обе части уравнения на cos²x≠0, т.к. sinx и cosx одновременно равняться нулю не могут.

У доски желающие решают уравнения, остальные в тетрадках.

3tg²x – 4tgx +1 =0 Пусть tgx =y

3y2 – 4y + 1 =0

y₁=1 или y₂=1/3

tgx=1 или tgx=1/3

, nÎZ x=arctg(1/3)+ pk, kÎZ

Ответ: ,nÎZ arctg(1/3)+ pk, kÎZ

V. Этап понимания учащимися нового материала.

На кодоскопе: определите вид уравнения и укажите способ его решения.

sinx=2cosx

√3*sinx + cosx =0

4cos3x + 5sin3x =0

2sinx + cosx =2

1+7cos²x + 3sin²x =0

√3*sin3x – cos3x =0

Учитель добивается правильного ответа.

Учащиеся дают ответ, называют вид уравнения и объясняют, как его можно решить.

VI. Этап закрепления нового материала.

Решить уравнения:

У доски с комментарием.

А) √3*sin3x – cos3x =0

, nÎZ

Ответ: , nÎZ

Б) 2sinx + cosx =2

Пусть tg(x/2)=y, 3y² – 4y + 1 =0

y₁=1, y₂=1/3

tg(x/2)=1, tg(x/2)=1/3

, nÎZ , kÎZ

Ответ: , kÎZ , nÎZ

VII. Этап информации о домашнем задании.

Инструктаж д/з. Учебник под ред. Колмогорова: №168(а,б), 169(в,г) – всем

№169(а,б), 171(в), 172(г) – названным учащимся.

VIII. Этап проверки знаний.

1) Самостоятельная работа №2 (6 минут)

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнение:

√3*cos2x + sinx =0

√3*sin5x + cos5x =0

Вариант 3 (по выбору)

1+7cos²x=3sin²x

По истечении времени учащиеся поменяются работами для проверки работ друг у друга. На кодоскопе даются правильные ответы самостоятельных работ №1,2 (3 минуты)

Учащиеся проверяют и записывают фамилию проверяющего.

Листочки сдают.

2) Итог урока

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
Как решаются эти уравнения?

Что мы будем иметь после деления?

С однородными тригонометрическими уравнениями.

Делением обеих частей уравнения на cosx≠0 (или sin≠0).

Получим уравнения первой или второй степени, которые мы умеем решать.

3) Отличается хорошая работа одних, недостаточная активность других, выставляются оценки за работу у доски, за устные ответы.

Урок 5.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели и задачи урока:

образовательные – формирование умений и навыков решения уравнений методом оценки, введением вспомогательного угла, понижением степени.
развивающие – развитие умений сравнивать, обобщать.
воспитательные – воспитание уважительного отношения к сверстникам.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Устная работа.

1) Решите уравнение:

а) cos²x – cosx =0

б) cos²x – sin²x =0

в)

a) cosx(cosx-1)=0

cosx =0 или cosx=1

, nÎZ x=2pk, kÎZ

б) cos2x=0

, nÎZ

в) sinx =0 или x=1 , x=2pk, kÎZ

2) Найдите все решения уравнения cosx=1, которые удовлетворяют неравенству 5-x≥0

2) x=2pn, nÎZ

x£5 при n£0

2) Найдите ошибку в решении уравнения.

cosx=0

1+sinx¹0

cosx=0, , nÎZ

1+1¹0

Ответ: , nÎZ

, если n=2k, kÎZ

если n=2k+1, то

и 1-1=0

Ответ: , nÎZ

II. Самостоятельная работа.

1 вариант – 1 уровень; 2 вариант – 2 уровень; 3 вариант – 3 уровень сложности.

Решите уравнения:

1 вариант:

1) 2cos²x + 2sinx =2,5

2) sin²x – 4sinxcosx + 3cos²x =0

3) 1-cos2x = sin2x

2 вариант:

1) ctgx = -4-3tgx

2) 2sin2x + 2sinxcosx = 1

3) sinxsin2xcos3x + sinxcos2xsin3x =0

3 вариант:

1)√2*sin(x/2) +1 =cosx

2) sin⁵x – sin⁴xcosx = 2sin³xcos²x

3) sinx + sin2x + sin3x = 1+ cosx + cos2x

III. Работа в группах

1	1
1	1
1	1
1	1
1 РЯД

2	2
2	2
2	2
2	2
2 РЯД

3	3
3	3
3	3
3	3
3 РЯД

Учащиеся каждого ряда получают обучающие карточки. Каждый ученик 1 ряда – К2, 2 ряда – К2; 3 ряда – К3. они самостоятельно выполняют задания, изучают содержание. Учитель осуществляет контроль за усвоением материала, дает необходимые рекомендации. После изучения и выполнения по команде учителя учащиеся пересаживаются по следующей схеме:

1	3
1	3
1	3
1	3
1 РЯД

3	2
3	2
3	2
3	2
3 РЯД

2	1
2	1
2	1
2	1
2 РЯД

Теперь рядом сидят ученики с разными карточками, они обмениваются информацией и самими карточками, выступают то в роли ученика, то в роли консультанта.

3) Аналогично происходит еще одно пересаживание, обмен информацией и карточками.

2	3
2	3
2	3
2	3
1 РЯД

1	2
1	2
1	2
1	2
3 РЯД

3	1
3	1
3	1
3	1
2 РЯД

Перед работой в группах каждый ученик вместе с карточкой получает индивидуальную карту учета учебных вопросов и в процессе работу ее заполняет. Работа считается завершенной, когда каждый ученик изучил все 3 карточки и две из них объяснил товарищам.

Ф. И. учащегося	К№1	К№2	К№3

IV. Итог урока. Инструктаж д/з.

Вовремя работы в группах учитель проверил самостоятельную работу и оценил работу каждого с учетом работы в парах.
П.11 №171(в,б), 173,176(г)

А) cos²x + sin²x =1

Б) sinx +cosx =√2

В) cosx = x² – 2x + 2

Тема: Решение тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени.

Формулы понижения степени:

;;

Пример:

sin²x + sin²2x + sin²3x + sin²4x = 2

ОДЗ: xÎR

Применяя формулы понижения степени, получим

4-cos2x – cos4x – cos6x – cos8x =4

cos2x + cos4x + cos6x + cos8x =0

сгруппируем cos2x и cos6x, cos4x и cos8x и по формуле суммы косинусов

cosα + cosβ = 2cos(α+β)/2 cos(α-β)/2

будем иметь:

(cos2x + cos6x) + (cos4x + cos8x) =0

2cos4xcos2x + 2cos6xcos2x =0

2cos2x(cos4x + cos6x) =0

2cos2x · 2cos5x · cosx =0

cos2x =0 или cos5x =0 или cosx =0

, nÎZ , kÎZ

Ответ: , nÎZ , kÎZ

Задание: решить уравнение

cos²x + cos²2x = cos²3x + cos²4x

Обучающая карточка №2

Тема: Решение тригонометрических уравнений введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение asinx + bsinx =c

Разделим обе части уравнения на , получим

Т.к. , то найдется такой угол φ, что cosφ=; sinφ= и уравнение примет вид:

cosφsinx + sinφcosx =

или . Это уравнение имеет лишь решение при |с| £

, kÎZ

, т. е.

, kÎZ

Пример: Ö3•cosx – sinx =1 , ОДЗ: xÎZ

Разделим обе части уравнения на

Т. К. ;, то

, зная, что sin(-a)=-sina, имеем

, kÎZ

Ответ: , kÎZ

Задание: решить уравнение sinx + cosx =1

Обучающая карточка №3

Тема: Решение тригонометрических уравнений методом оценки.

Рассмотрим уравнение: sin(5/4 · πx) = x² – 4x + 5

Чтобы его решить, нужно оценить значение левой и правой частей

-1≤ sin(5/4 · πx) ≤1, т.к. E(sinα) =[-1;1]

чтобы оценить значение x² – 4x + 5, выделим полный квадрат двучлена

x² – 4x + 5 = x² - 2 ·x ·2 + 2² – 2² + 5 = (x – 2)² + 1 ; (x –1) + 1≥1

Итак, значение левой части не больше 1, а значение правой части не меньше 1. равенство достигается при условии, что

sin(5/4 · πx) = 1

x² – 4x + 5 = 1

Решением x² – 4x + 5 =1 является при x=2

, итак, x=2 Ответ: 2.

Задание: решите уравнение:

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели и задачи:

общеобразовательные: обобщить и систематизировать знания о методах решения тригонометрических уравнений, подготовить к контрольной работе;
развивающие: развитие умений обобщать, делать выводы, развитие творчества в учебной работе;
воспитывающие: воспитание культуры, умения слушать одноклассника, чувства взаимопомощи.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Проверка домашнего задания

Учитель на демонстрационном экране показывает решение уравнений

1) cos²x + sin² 3x =1

2 + cos2x – cos6x =2

cos2x – cos6x =0

-2sin4xsin(2x) =0

sin4xsin2x=0

sin2x=0 или sin4x =0

, nÎZ , kÎZ

Общее решение , nÎZ

Ответ: , nÎZ

Учащиеся сверяют, задают вопросы, комментируют решения, предлагают другие способы решения.

2) sinx + cosx =Ö2

, nÎZ

Ответ: , nÎZ

3) cosx = x² – 2x + 2

|cosx|£1; x² – 2x + 2 = (x-1)²+ 1³1

Равенство достигается лишь при условии cosx =1

(x-1)² +1 =1

при x=1; cos1≠0

Ответ: решений нет.

II. Работа в группах

1 и 2 группы получают задание: «Дидактические материалы 10-11» Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. Самостоятельная работа С-14, С-17(а), С-18(а).

1 вариант – 1 группа

2 вариант – 2 группа.

3 и 4 группы получают задание: составить контрольную работу по теме и решить её. Решение оформляет на кодопозитиве.

5 и 6 группы получают задания: решить уравнение с параметром:

5 группа: При каких а уравнение cos²2x + 3a² = 4a(cos⁴x – sin⁴x) имеет решение и найти его.

6 группа: При каких b уравнение 1 –4bsin2x + 3b² =cos²2x имеет решение и найти его.

Решение:

cos²x – 4a(cos²x + sin²x)(cos²x – sin²x) + 3a² =0

cos²x – 4a(cos²x – sin²x) + 3a² =0

Пусть cos2x=t, t² – 4at + 3a² =0

D/4 = 4a² - 3a² = a²

t₁ =2a + a =3a t₂=2a – a = a

1) cos2x=3a

2) cosx=a

-1≤3a≤1

-1≤a≤1

-1/3≤a≤1/3

-1≤a≤1

-1 -1/3 1/3 1

1сл 2сл 3сл

Ответ: если aÎ[-1; 1/3]U[1/3;1]

x= +1/2arccosa + πn, nÎZ, если aÎ[-1/3;1/3]

x= +1/2arccos3a + πn, nÎZ

x= +1/2arccosa + πk, kÎZ

Аналогично решается 2 уравнение.

После выполнения задания, учащиеся 5 и 6 групп отсчитываются учителю. Затем 5 группа становится консультантом 1 и 2 группы, а 6 группа получает задание.

Классифицировать тригонометрические уравнения по типам, дать методы их решения (учитель помогает в группе).

После окончания работы учитель оценивает работу 5 и 6 групп, консультанты 1 и 2, проверяется работа 3 группы с помощью экрана. Работа 4 группы задается на дом. Класс заслушивает последнее задание 6 группы.

Урок 7

Тема: «Контрольная работа»

Цель: контроль за усвоением умений и навыков решений тригонометрических уравнений.

1 вариант:

Решить уравнение:

Sin2x =-1
2cos²x – cosx – 1 =0
sin2x + √3·sinx· cosx =0

Решить систему уравнений:

x + y =π

sinx + siny = -√2

При каких а уравнение sinx – cosx =a имеет решение и найти его.

При любом а:

При любом а:

arctg a + arcctg a =p/2

JComments