Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся
Используемые учебники и учебные пособия:
- Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2004.
- Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл. – М.: Просвещение, 1985.
- Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.
- Панишева О.В. Применение показательной функции. Журнал «Математика в школе», №5 2001.
- Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа. Газета «Математика» №2, 2005 с.21; №3, 2005 с.20
Используемое оборудование:
интерактивная доска
Используемые ЦОР:
презентация
Краткое описание: Урок с межпредметными связями (физика, биология)по теме "Показательная функция. Её свойства и график"
Ресурс для профильной школы: Ресурс для профильной школы
ТЕМА УРОКА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК.
Цели урока:
Образовательные: повторение и закрепление учебного материала, коррекция, углубление, расширение знаний по теме «Показательная функция, ее свойства и график», включение в активную познавательную деятельность.
Развивающие: развитие графической культуры, математической речи, формирование алгоритма рефлексивного мышления.
Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, толерантности.
Ход урока.
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показательные,
открывают доступ ко многим
исследованиям.
Л.Эйлер.
- Самоопределение к деятельности, стимулирующее начало.
- Здравствуйте, ребята! Поразительна быстрота, с которой размножаются животные и растения, если они попадают в благоприятные условия, т.е. почти не имеют естественных врагов и находят вдоволь пищи. Достаточно было выпустить в Австралии на волю пару кроликов (раньше они там не водились), чтобы через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. А когда один южноамериканский ученый выпустил несколько экземпляров выведенного им гибрида африканских и местных пчел, рои новой породы стали занимать одну территорию за другой, распространились по всей Южной Америке и сейчас почти полностью вытеснили ранее существовавшие там виды пчел.
? Неужели это все связано с математикой? Причем здесь показательная функция? На эти и другие вопросы мы узнаем ответ в течение урока.
-Вспомните, чем мы занимались на прошлом уроке. Чему мы научились?
- Вы хорошо работали на прошлых уроках, но вы можете сказать, что у вас, у всех все получалось, вы не допускали ошибок при выполнении заданий? (Нет)
-Сегодня мы продолжим работать с показательной функцией, исследовать ее свойства, применять их для сравнения выражений, учиться строить более сложные графики показательной функции (графики с модулем), узнаем о применении показательной функции в физике, биологии, экономике и других областях. Если кто-то из вас будет допускать ошибки, ваша задача: найти эти ошибки, понять, почему вы их допустили, и исправить их.
-Для успешной работы на уроке повторим основные понятия и алгоритмы, которые мы сегодня будем использовать.
- Актуализация знаний, локализация затруднений.
Учебный диалог.
- Расширение понятия какой функции привело к появлению показательной функции? (степенной функции)
- Какая функция называется показательной?
- Назовите область определения и множество значений функции .
- Укажите промежутки монотонности функции при а>1, при 0 < а <1.
Устная работа.
- Какие из перечисленных функций являются показательными:
у = 2х ; у = х ; у = (-5)х ; у = πх ; у = (2х-7)2 ?
- Какие из показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими:
; ; ; ?
- Есть ли среди всех значений функции у = 3х наибольшее?
- Сравните значения выражений:
; ;
- Укажите график функции у = 0,5х ; у = 2х
Какие затруднения были при выполнении заданий? Каковы их причины?
- Включение в систему знаний (отработка имеющихся умений и формирование новых)
Задание 1. Построить графики функций (работа в парах на месте и два ученика у доски работают на откидных досках)
1 вариант у = 2х ; у = 2х+1 ; у = 2х +1
2 вариант ; ;
1 вариант
2 вариант
Функция
График
Функция
График
у = 2х
у = 2х+1
у = 2х +1
По окончании работы проверка правильности построения графиков и обобщение результатов.
- Что произошло с графиками функций?
- Укажите множество значений функций.
- Укажите точку пересечения каждой функции с осью ординат.
- Какой сдвиг испытают графики функций у = 2х-1 ; у = 2х -1 вдоль осей координат ?
Задание 2. Построим график функции у = 2 ׀х׀ (учитель показывает на доске решение)
По определению модуля
у = 2х , если х ≥ 0
2 ׀х׀ =
у = 2 -х , если х < 0
Задание 3. (Групповая работа с последующей самопроверкой по образцу) Построить графики функций
1 и 3 группы: у = 3 ׀х׀ ; у = 3 ׀х-2׀ ; у = ׀3х - 2 ׀
1б. 2б. 3б.
2 и 4 группы : ; ;
1б. 2б. 3б.
у = ׀3х - 2׀
- Расширение информационного поля учащихся, установление межпредметных связей.
Применение показательной функции.
Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой , где N0 - число людей в момент времени t=0, N – число людей в момент времени t, a – константа.
Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.
Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
, где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H - константа, зависящая от температуры воздуха.
Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону
, где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.
Радиоактивный распад.
После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов? Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.
Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд лет, для радия – 1620 лет, для полония – 84 года, для цезия-137 – 31 год, для иода-131 – 8 суток.
Например, за время равное 4,5∙109 лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
у
М
х
Ответ. или
За правильно записанную формулу и верно выполненный график по 0,5б.
0
Потери силы тока. При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.
Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость силы тока от расстояния. Изобразить схематически график функции.
0
1
у
х
Ответ.
Органический рост
- При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов (например, при разведении дрожжей или кефирных грибков на заводах, при изготовлении пенициллина, при выращивании в лаборатории какого-либо вида клеток для научных исследований), когда обеспечиваются особо благоприятные условия для жизни организмов (постоянная температура, наличие достаточного количества питательных веществ, «жизненное пространство» и т.д.), размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.
Поэтому за равные отрезки времени число клеток в колонии увеличивается в одном и том же отношении, рост колонии идет постепенно, причем, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
Ответ.
- Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. (Конечно, в естественных условиях погибает большая часть растений, но в идеальных условиях, которые иногда возникают в природе или создаются искусственно человеком, рост числа особей идет именно так.)
Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
у
0
х
1
Ответ.
Рост вклада в банке.
Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг.
В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
Эта сумма выражается формулой:
Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции.
Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.
0
1
у
х
Ответ.
За каждую правильно записанную формулу и верно изображенный график ученики получают по 0,5 балла.
- Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу, (контроль знаний и умений).
Предлагается тестовое задание и самостоятельная работа дифференцированного характера с правом выбора вида работы.
ТЕСТ.
Вариант 1.
1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:
а) у=2х б) (-3)х в) у=х г) у = π х
1б.2.Какая функция является возрастающей?
а) у=0,2х б) у=3х в) г) у=2-х
1б.3. Найдите область значения функции у = 3х - 6
а) (- ∞; +∞) б) (0; +∞) ; в) [-6; +∞) г) ( -6; +∞)
1б.4. Определите наибольшее из чисел.
а) б) в) 1 г)
1б.5. При каком значении а график функции у = ах проходит через точку Р (1;2)
а) 1 б) 2 в) г)
-----------------------------------------------------------------------
3б.6. Построй график функции у = 3х +׀х׀
Вариант 2.
1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:
а) у=х2 б) у =( )х в) у =(х-2)3 г) у = 3 –х
1б.2. Какая функция является убывающей?
а) у=0,2-х б) у=3х в) г) у=22х
1б.3. Найдите область значения функции у = 2х + 2
а) (- ∞; +∞) б) (2; +∞) ; в) (-2; +∞) г) ( 0; +∞)
1б.4. Определите наименьшее из чисел.
а) б) в) г) 1
1б.5. При каком значении а график функции у= ах проходит через точку М (2;9)
а) 3 б) 2 в) г) 4,5
------------------------------------------------------------------
3б.6. Построй график функции у = 2х -׀х׀
Коды правильных ответов.
1 вариант.
№ задания
1 1б.
2 1б.
3 1б.
4 1б.
5 1б.
Ответ
а, г
б
г
в
б
2 вариант.
№ задания
1 1б.
2 1б.
3 1б.
4 1б.
5 1б.
Ответ
б, г
в
б
г
а
у = 3х +׀х׀ 3б. у = 2х –׀х׀
3б.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
2б.1. Сравните с единицей:
а) б) в) г)
1б.2. Сравните значения выражений:
а) б)
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а) б)
1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций f и g , если:
а) f (х) = 2х , g(х) = 2 б) f (х) = , g (х) =
----------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 2- 3х
Вариант 2.
2б.1. Сравните с единицей:
а) б) в) г) 0,212
1б.2. Сравните значения выражений:
а) б)
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а) б)
1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций f и g , если:
а) f (х) = 4х , g(х) = 42 б) f (х) = , g (х) =
--------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 3- 2х
Ответы :
Вариант 1.
2б.1. а) < 1 б) < 1 в) < 1 г) >1
1б.2. а) б)
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а) б)
1б.4. а) х=1 б) х=3
----------------------------------------------------------------
3б.5. у = 2- 3х
Вариант 2.
2б.1. а) б) <1 в) >1 г) 0,212<1
1б.2. а) б)
1б.3. а)х < у б) х < у
1б.4. а) х=2 б) х=4
--------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 3- 2х
Критерии оценки за урок:
«3» - 7-10 баллов
«4» - 11-15 баллов
«5» - 16-19 баллов
ЛИСТ САМОКОНТРОЛЯ.
Фамилия, имя __________________________________________________
Вид задания
Групповая работа по построению графиков
Применение показательной функции
Самостоятельная работа
Итого баллов
Оценка
Количество баллов
- Рефлексия. Подведение итогов.
- Какой материал повторяли на уроке?
- Что нового узнали?
- С какими трудностями столкнулись на уроке?
- Дайте оценку своей работы на уроке.
- Что необходимо повторить для успешной работы на последующих уроках?