Пусть а — первообразный корень степени п (п нечетно или делится на 4) и Qn= Q(a) — круговое поле. Согласно [1], в группе с единиц Е кольца целых поля Qn подгруппа Klt= (1-а'|/е{1,...и-1})П£ имеет конечный индекс. При п< 1 н от индекс равен 1 [2].
Теорема 1. Пусть п < 4 и п — степень простого числа р . При Р = 2 положимg= 5, а при нечетном р пустьg— первообразный <р(п) 2 орень по модулю п . Тогда Кп = {—а) х ]
/=1
Здесь и далее Ф — функция Эйлера.
Теорема 2. Пусть п делится только на два простых числа. Тогда Kt = где А — подмножество мощности взаимно простых с wчисел. Пример:
А = { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33,37, 39, 41, 43, 47} д ля п -100.
В случае, когда п делится не менее чем на три простых числ описание становится более сложным (по этому поводу [3]).
Теорема 3. Пусть п =paqbгс делится только на три просты^ числа р, q, г. Тогда
~ {-«)>< ~^ х ~а^ ^х - a^^x^^l-а'^ где А — подмножество мощности чисел.
Указанная в теореме 3 система порождающих не является минимальной, и исключением трех лишних порождающих необходимо заниматься отдельно. Например, для п = 60 имеем
кб0 = (-а)х Jl(l-a'I/€{3,4,7,11,13,17,19}).