ОГЛАВЛЕНИЕ:

 

Введение.

 

Часть 1: Повторение и систематизация систем уравнений.

1. Из теории вопроса.
2. Системы уравнений в школьной программе.

 

Часть 2: Методика обучения решению систем уравнений.

1. Основные определения.
2. Алгебраические системы.
   • Системы уравнений первой степени
   • Нелинейные системы уравнений
3. Неалгебраические системы.
   • Системы, содержащие показательные уравнения
   • Системы, содержащие логарифмические уравнения

ВВЕДЕНИЕ

Роль и место систем уравнений в школьном курсе математики

 

Тема «Системы уравнений» в школьной программе достаточна важна как для самой математики, так и для других наук.

По сравнению с уравнениями  с одной переменной  системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.

А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и  ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Анализ сдачи экзаменов в такой форме за прошлые годы показывает, что с решением систем уравнений справляются не более 25 % выпускников; особые затруднения вызывают у них те системы, которые можно решить только графическим способом. Кроме того, с каждым годом усложняются системы уравнений, которые даются в части «С» и требуют полного развернутого ответа.

Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:

• изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;
• Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;
• Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.

Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

 

1. I. ПОВТОРЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

 

1. Из теории вопроса.

 

Объем информации, которую перерабатывает ученик в школе, растет.

Увеличивается нагрузка на память ученика, а поскольку память и усвоение взаимосвязаны, то усвоение материала для значительной части школьников затрудняется. Психологи установили, что нагрузка на произвольную память тем больше, чем меньше связаны между собой усваиваемые понятия. Отсюда следует, что усвоение большого количества информации за одну и ту же единицу времени возможно только на пути укрупнения единиц усвоения, то есть на пути формирования систематизации знаний. Этим создаются условия для объединения единичных многочисленных фактов и облегчается их усвоение и запоминание. Поэтому систематизация знаний является эффективным средством углубления, универсализации, упорядочения понимания и запоминания знаний. Множество внешне разрозненных фактов, явлений, примеров при нахождении общих принципов становится иллюстрацией этих общих положений, что не только способствует лучшему запоминанию и облегчению применений знаний, но и поднимает их на принципиально новый уровень. Появляется иной взгляд на мир, его законы.

 

Целью системы повторительно - обобщающих уроков является выход на 2-3 уровни сформированности  системы качества знаний - конструктивный и творческий. На этих уровнях учащиеся владеют переносом знаний в измененные ситуации, создают новые нестандартные алгоритмы решений. Систематизация знаний позволяет углубить, упорядочить понимание и запоминание знаний. Обобщенные знания позволяют многие частные задачи решать путем переноса способа действий на целый класс аналогичных задач.

Сгруппированный материал легче и прочнее усваивается, его удобнее использовать в дальнейшем. Повторение только по учебнику не всегда помогает достичь этих целей. В них недостаточно уделяется внимания прикладной направленности обучения. Не всегда в учебной литературе есть материал, развивающий творческие способности учащихся. Старшеклассники, не получившие дополнительных сведений, плохо ориентируются в выборе методов решение нестандартных задач.

Восполнить это пробел позволяют повторительно-обобщающие уроки. Часто уроки итогового повторения вызывают у учителей значительные трудности, превращаются в «натаскивание», в тренировку по решению задач. В связи с этим, при подготовке к повторителъно-обобщающим урокам нужно делать акцент на систематизацию знаний.

Прежде всего, определяются принципиально важные элементы знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть ученик по повторяемой теме; выделение этих элементов определяет объем повторяемого материала. Затем, исходя из специфики учебного материала, из особенностей класса, в котором будет проходить урок, следует установить, надо ли придерживаться той последовательности повторения, которую предполагает учебник, или же целесообразно перекомпоновать материал, определив новую форму сочетания и связей.

На повторительно - обобщающие уроки выносится материал, знакомящий учащихся с ведущими идеями курса, имеющий важное мировоззренческое значение, а также материал, который впоследствии из предмета изучения перерастет в средство изучения другого материала. Объектом систематизации могут быть понятия, методы доказательства теорем, методы решения задач и т.д. Содержание уроков может строиться либо на теоретическом материале, либо на системе упражнений, либо на их сочетании.

Методами проведения уроков обобщающих повторений являются повторительно-обобщающая беседа, обзорная лекция, работа с учебником и другой литературой и т.д. Применение любого из названных методов необходимо сочетать с самостоятельной работой учащихся.

Предлагая на уроках обобщающего повторения то или иное задание для самостоятельного рассмотрения, учителю следует определить степень самостоятельности учащихся, продолжительность работы, формы и методы её проведения, характер руководства и проверки. Перечисленные компоненты определяются материалом и подготовленностью учащихся к самостоятельной работе.

Повторение можно проводить на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий.

Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности.

Обобщающее повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение на уровне теорий - в группе наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.

При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, школьники учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся вырабатываются                                                                                                                                                                   умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий,

нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий

по этим признакам. Основными методами работы на таких уроках являются

методы наблюдения и сравнения.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий должно быть также направлено на выявление общих свойств группы понятий и на их распространение на другие понятия, при этом на первый план выдвигается анализ взаимосвязи понятий.

Для того, чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура, полезно представить полученные результаты обобщения в виде классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей. В схемах и таблицах выделяются не только элементы схемы, но и отражаются отношения между ними. Охватывая разом множество понятий, учащимся легче проследить за развитием узловых понятий, увидеть, в каких отношениях вступает каждое из них с остальными. Они помогают школьникам получить представление об изученной порции учебного материала.

При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиций тех или иных фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений, понятий. Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам.

Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией.

В психолого-дидактической и методической литературе выделяют следующие виды повторения: предваряющее, текущее, тематическое и итоговое. Необходимость организации предваряющего повторения в начале учебного года обусловлена многими причинами. Во-первых, неизбежен непроизвольный процесс забывания, приводящий к утрате четкости, уменьшению объема знаний, к затруднениям, ошибкам и даже к полной невозможности припомнить или узнать то, что было в прошлом опыте. Такому естественному свойству человеческой памяти способствовал и длительный перерыв в учебном процессе (летние каникулы школьников). Во-вторых, возвращаясь к ранее изученному, обобщающее повторение в начале учебного года освежит, дополнит полученные знания новыми сведениями, создает предпосылку для более прочного закрепления и углубления всей системы знаний.

В - третьих, повторение позволит учителю скоординировать свои действия по ликвидации пробелов в знаниях учащимся.

Выносить на обобщающее повторение нужно прежде всего материал, отражающий ведущие идеи курса и имеющий важное мировоззренческое значение, рассматривать в основном стабильные части программы. Важной частью подготовки учителя к проведению обобщающего повторения является составление программы такого повторения. Целесообразно составить такую программу, при которой взаимосвязанные вопросы рассматриваются совместно.

Повторительно - обобщающие уроки целесообразны не только в начале, но и в течение учебного года. На них можно сопоставить изученные понятия, рассмотреть логические связи и функциональные соотношения между ними, проследить их развитие в стройную систему знаний и умений учащихся.

Тематическое повторение применяется с целью углубления и систематизации материала каждой изучаемой темы. На тематическое повторение выносятся вопросы исходя из их значимости в структуре материала темы, определяемой программными требованиями.

Урок повторения и систематизации знании дает возможность применять групповые формы учебной работы. Разные группы учащихся могут включаться в выполнение различных заданий с той целью, чтобы потом полнее осветить разные вопросы ранее изученного материала. Выступления учащихся перед классом помогут восстановить и систематизировать материал всем.

К такому типу уроков правомерно отнести уроки анализа контрольных работ, которые преследуют цель - установить типичные ошибки, повторить и систематизировать знания по тем разделам программы, которые слабо усвоены учениками. В классе определяются разные группы учащихся: одни выполнили контрольную работу без ошибок, другие допустили единичные ошибки, третьи не справились со значительной частью работы. Используя дифференцированно-групповую, индивидуальную формы обучения, учитель подбирает задания реконструктивно-вариативного типа для первой группы учеников. Второй группе учащихся подбирает задания по тем разделам программы, которые ими слабо усвоены. С третьей группой он занимается повторением материала и совершенствованием знаний по нескольким разделам программы.

Итоговое повторение проводится в конце учебного года. По целям и отбору материала оно сходно с тематическим, однако уровень обобщения материала здесь значительно выше.

Способы организации обобщающего повторения меняются от класса к классу и зависят от различных факторов. Так, если в средних классах учитель сам в форме беседы или рассказа обращает внимание учащихся на необходимость всестороннего изучения каждого понятия, явления, на взаимосвязь изучаемых понятий, то в старших классах целесообразно так организовать работу, чтобы учащиеся пришли к открытию новых связей, обобщению полученных знаний.

Часто на уроке, где закрепляется и повторяется материал, ученики, как

правило, теряют интерес и внимание, так как нового они ничего не узнают. Поэтому, для проведения таких уроков целесообразно применять нестандартные виды работ.

Использование нестандартной формы повторения помогает оживить урок, стимулирует интерес учащегося к закреплению знаний. На таких уроках полезно раскрывать связь математики с жизнью, совершать исторические экскурсии, что значительно повышает интерес к математике, представляет её живой и увлекательной.

К нестандартным формам повторения могут относиться конкурсы, деловые игры, командные соревнования.

Требования к организации повторительно - обобщающего урока могут быть следующие:

1. урок должен быть интересным по содержанию для учащихся.
2. урок должен носить творческий характер.
3. обучающий характер урока за счет новизны ситуаций.
4. предпочтительность парной, групповой и индивидуальной форм контроля над фронтальной.
5. наличие мотивационного стимула для учащихся.

Очевидно также, что повторения в такой форме возможно проводить в конце полугодия, в конце года, когда объем изученного материала достаточно большой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Системы уравнений в школьной программе.

 

Тема: «Системы уравнений» занимает одно из ведущих мест в учебниках алгебры 7-11 классов у различных авторов.

Все  школы нашего района работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей работе я в большей степени ссылаюсь на данный учебник.

Пропедевтика данного вопроса начинается задолго до изучения темы.

Начиная с 5 класса, она представлена подборкой следующих заданий:

 

Ea) в учебнике 5 класса авторов Н.Я. Виленкина, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда:

P      Отметьте на луче все натуральные числа, которые больше 10, но меньше 14.

P      Отметьте на координатном луче все точки, координаты которых равны натуральному числу , если .

P      Докажите неравенство: .

P      Для нахождения делимого при делении с остатком используют формулу , где -делимое,  - делитель,  - неполное частное, -остаток. Используя эту формулу, найдите:

• делимое , если =7, =15, =4
• делитель , если =257, =28, =5
• неполное частное , если =527, =12, =11
• остаток , если =541, =31, =17.

P      Найдите значение выражений  и , если =30,4; 2,454; 83,998.

 

Eb) в учебнике 6 класса тех же авторов:

P      Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду» Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:

а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;

б) сходила в булочную, но не вымыла посуду;

в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;

г) не вымыла посуду и не была в булочной.

Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей на нахождение решений неравенства  среди чисел 1,3,5,7.

P      Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения

P      Выполните приведение подобных слагаемых:

а)                                  б)

в)                                 г)

P      Отметьте на координатной плоскости точки , , , .Найдите координаты точки пересечения прямых  и .

 

Ec) в учебнике 7 класса авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В.Сидорова и др.:

P      Из формулы  выразить .

P      Какие из чисел 3; -3,2 являются корнями уравнения:

а) ;                                                б) ;

в) ;                                     г) .

P      Функция задана формулой . Вычислить значение функции при  = 10; -4,5; 15; -21. Найти значение , при котором значение          = -19; 205; -3,5

P      Дана функция . Выяснить, принадлежат ли графику этой функции точка с координатами: (1;2), (-2;0), (-2;20), (3;0).

Также пропедевтика решения систем уравнений проводится при решении различных уравнений, задач на составление уравнений, упражнений на построение графиков функций.

Изучение систем уравнений в основной школе в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.

В курсе 7 класса на изучение главы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными» отводится 15 часов.

Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.

 

На тему «Системы уравнений» отводится 2 часа.

Цель первого урока: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:

Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Вводится понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.

На изучение темы: «Способ подстановки» отводится 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Вначале  в устной работе рассматриваются упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:

P      Выразите переменную у через :

;                 ;            .

P      Является ли линейной функция, заданная формулой:

;     ;      ;        ;         ?

P      Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?

Далее рассматривается решение задачи из учебника:

решить систему уравнений

Вводится алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, рассматривается решение задачи по учебнику:

решить систему уравнений:

При закреплении материала отрабатывается метод на примере систем, у которых в одном из уравнений коэффициент при одном из неизвестных равен единице.

На втором уроке продолжается отработка способа подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.

На третьем уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися материала.

 

На тему «Способ сложения» отводится также 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы двух линейных уравнений способом сложения, в необходимых случаях приводя предварительно уравнения системы к виду:

 где – целые числа.

Изучение нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:

P      решить системы уравнений: ,

Затем вводится алгоритм способа алгебраического сложения, далее рассматриваются решения задач в учебнике:

P      решить системы уравнений: ,

Второй и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа алгебраического сложения к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.

 

На тему «Графический способ решения систем уравнений» отводится 3 часа. Учащиеся из предыдущей главы «Линейная функция и её график»  знают определение линейной функции, умеют строить её график, проводить сдвиги графика вдоль оси ординат, читать график. Но в устной работе в начале первого урока по теме, а также на предыдущих уроках полезно включать упражнения типа:

P      Принадлежит ли графику линейной функции  точка А(0;0); В(0;4); С(; 0)?

P      Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ;        ;          ?

P      Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.

P      Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .

P      Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:

P      В какой точке прямая  пересекает ось ОХ? Ось ОУ?

 

После устной работы рассмотреть текст учебника на страницах 158-159, после чего учащиеся должны усвоить, что графиком любого уравнения  является прямая, если хотя бы одно из чисел  или  не равно 0. Далее ввести правило решения системы графическим способом; обратить внимание учащихся на то, что при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное значение; рассмотреть три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы. В качестве примеров рассмотреть в учебнике решения задач:

P      Найти координаты точки пересечения прямых:

 и

P      Решить систему уравнений:

P      Показать, что прямые  и  совпадают.

 

При закреплении материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое решение системы уравнений, в одном из уравнений которой выражена неизвестное .

На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.

На третьем уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.

 

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа. На данный момент учащиеся умели решать задачи на составления уравнения с одним неизвестным, поэтому материал данного параграфа для них является новым. Изучение нового материала можно начать с решения следующей задачи:

P      длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.

 

Сначала решаем задачу с помощью одной переменной, при этом можно опираться на знания учащихся по данной теме. После этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения задачи с помощью системы уравнений.

На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно включать задачи такого типа:

P      На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

P      Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

P      Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?

P      Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.

P      Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?

P      Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?

Итоговая проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.

В 8 классе в главе «Квадратные уравнения» продолжается изучение систем уравнений.

В главе на тему  «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени» отводится 3 часа.

Цель этих уроков: повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными, особое внимание уделив способу подстановки.

Затем изучить материал на странице 137, разобрав решение задачи из учебника:

P      гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см². Найти катеты.

Далее учитель объясняет решение способом подстановки системы уравнений задачи из учебника :

P      решить систему уравнений:

На закрепление материала рассматриваются системы уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при каком-то неизвестном, равный единице.  На этом же уроке рассматриваются простейшие задачи, типа: даны сумма и произведение чисел. Найти эти числа.

Цель второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений второй степени способом подстановки и способом сложения.

На третьем уроке учащиеся упражняются в решении более сложных систем уравнений, а также использовании систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.

 

В 9 классе  в главе «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» продолжается изучение систем уравнений.

На тему «Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными» отводится 3 часа.

Данная тема не является для учащихся новой. Из 7 класса они умеют решать системы линейных уравнений, знают  различные способы решения систем. Из 8 класса учащиеся знакомы с системой уравнений, в которых одно уравнение линейное, а другое второй степени или оба уравнения второй степени. Поэтому начать первый урок по теме целесообразно с повторения данного материала, рассматривая это на конкретных примерах. Затем решить методом подстановки систему уравнений: .

На закрепление решаются системы уравнений, содержащие линейное уравнение.

На  втором и третьем уроках учитель показывает решение более сложных систем:

        

Далее на этих уроках закрепляются и углубляются полученные знания при решении более сложных систем.

Первый из трех уроков по теме «Различные способы решения систем уравнений» можно начать с проверки знаний по предыдущему материалу.

Цель этого урока: рассмотреть примеры нахождения действительных решений систем уравнений, в которых одно из уравнений рациональное. Рассмотрев в учебнике решение задачи:

P      решить систему уравнений:

продолжить решение подобных систем на доске.

На следующих двух уроках продолжаем развивать умения решать системы уравнений, содержащие уравнения более высоких степеней, а также системы уравнений с корнями, системы трех уравнений с тремя неизвестными, системы уравнений с параметрами. В ходе решения данных систем учащиеся знакомятся с новым для них способом – способом введения новой переменной.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа.

Учащиеся из 8 класса умеют уже решать задачи на составление систем уравнений, поэтому целью этих уроков является закрепление данного навыка.

Кроме того, на этих уроках продолжается отработка навыков решения различных систем уравнений, в том числе и при устных работах, например:

P      Сколько решений может иметь система вида:

P      Решить систему уравнений:

,       ,            

,              

На третьем уроке проводится самостоятельная работа с целью проверки знаний по данной теме.

Особое значение для систематизации знаний по теме «Системы уравнений» имеют уроки итогового повторения в конце 9 класса. В сборнике заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы авторов Кузнецова Л.В., Бунимовича Е.А. и др. как в первой части, требующей базового уровня знаний, так и во второй части, дается  значительное количество примеров на системы линейных и нелинейных уравнений. Тем более, что решение систем уравнений является одной из трудных для усвоения учащимися.

                                                     

В 10 классе в учебнике тех же авторов в главе «Показательная функция» 3 часа отводится на тему «Системы показательных уравнений и неравенств». Цель этих уроков: научить решать системы показательных уравнений и неравенств. Перед изучением нового материала необходимо повторить способы подстановки, сложения, графический и введения новой переменной, которые будут применяться в новой теме. Учитель показывает ряд примеров на решение систем показательных уравнений различными способами, в том числе обращает внимание учащихся на новый способ: умножение (деление) уравнений данной системы. Отработку навыков решения систем можно проводить через работу в группах.

Несмотря на то, что при изучении тем «Логарифмическая функция» и «Тригонометрические уравнения» отдельными параграфами не выделено решение систем, содержащих логарифмические и тригонометрические уравнения, в текстах учебника приведены примеры решения систем, содержащих данные уравнения. В связи с тем, что в учебнике авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. очень маленький набор задач, а данная тема важна для сдачи учащимися ЕГЭ, необходимо усилить набор задач из других источников.

 

Структура изучение темы «Системы уравнений» по учебникам других авторов незначительно отличается от структуры, рассмотренной в учебнике Ш.А. Алимова и др.

Так, в учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева изучение данной темы начинается только в 8 классе. На тему отводится 19 часов, основная цель которой – познакомить учащихся со способами решения систем уравнений, научить решать их и использовать составление систем при решении текстовых задач. Основное содержание главы связано с рассмотрением линейного уравнения и решением систем линейных уравнений. Значительное место в главе отводится обучению аналитическим приемам решения систем линейных уравнений. В то же время в главе приводятся примеры и нелинейных уравнений, рассматриваются их графики, решаются системы, в которых одно уравнение не является линейным. Продолжается решение текстовых задач алгебраическим методом, но теперь их математической моделью оказывается система уравнений. Идейное продвижение здесь состоит не только в использовании алгебраического аппарата, но также и в том, что в явном виде формируется следующая мысль: при переводе текстовой задачи на математический язык удобно вводить столько переменных, сколько неизвестных содержится в условии. Задания группы Б вводят учащихся в круг некоторых новых идей. Прежде всего,  это решение систем, содержащих три уравнения с тремя переменными, а также решение систем методом замены переменных. Кроме того, в классах с хорошей математической подготовкой рассматривается тема: «Задачи на  координатной плоскости», что подготавливает учащихся к восприятию данного материала в учебнике 9 класса.

В 9 классе в главе «Уравнения и системы» (25 часов) акцент делается на системы, в которых одно уравнение первой, а другое – второй степени. Рассматриваются также примеры систем, в которых оба уравнения второй степени. Значительная роль отводится графическому методу, который, в частности, используется для выяснения вопроса о числе решений системы уравнений. Решаются текстовые задачи алгебраическим методом.

Структура темы «Системы уравнений» в учебнике авторов А.Г. Мордкович и С.М. Никольский и др. практически не отличается от структуры данной темы у автора Ш.А.Алимова и др. Она также распределяется между курсами 7 и 9 классов у первого автора, между курсами 7 и 8 классов у второго автора.

Особое значение при работе по учебникам любых авторов имеет итоговое повторение материала по курсу 10-11 классов.

Эти уроки имеют своей целью не только восстановление в памяти учащихся основного учебного материала, но и обобщение, уточнение и систематизацию их знаний по алгебре и началам анализа за курс средней школы. На уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

 

Итоговые уроки по данной теме необходимо начать с повторения теоретического материала: решение системы уравнений, что значит решить систему, равносильные системы уравнений, способы решения линейных и нелинейных систем, зависимость количества решений системы линейных уравнений от соотношения между коэффициентами этих уравнений. Далее приступить к отработке решения различных систем базового, продвинутого и высокого уровня. Учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что при решении систем при сдаче ЕГЭ можно использовать не только стандартные методы (подстановки, алгебраического сложения, введения новой переменной и графического), но и нестандартные.

 

 

1. II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

 

1. Основные определения.

 

При изучении темы у учащихся должны быть сформированы определенные понятия:

• системы двух уравнений с двумя неизвестными, решения данной системы, что значит решить систему уравнений (7 класс);
• системы двух уравнений, содержащих уравнение второй степени(8 класс);
• системы нелинейных уравнений (9 класс)
• системы неалгебраических уравнений(10 класс).

При изучении как уравнений, так и систем уравнений особое внимание уделяется понятию равносильность. На обобщении занятий по теме решение систем уравнений обязательно должны систематизироваться знания о равносильности.

P      Понятие равносильности уравнений.

Определение 1: Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Например, уравнения 4х – 3 = 2х + 3 и 2х = 6 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень х = 3. Уравнения (х – 2)(х + 5) = 0 и

 х² + 3х – 10 = 0 также равносильны, так как имеют одни и те же корни х₁ = 2, х₂ = -5.

Уравнения 2х = 4 и 3х² = 14 не равносильны, так как первое уравнение имеет корень х = 2, а второе – корни х₁ = 2 и х₂ = -2.

Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Теоремы:

• Уравнения f (х) = g (х) и f (х) - g (х) = 0 равносильны.
• Уравнения f (х) = g (х) и f (х) +а = g (х) +а равносильны для любого числа а.
• Уравнения f (х) = g (х) и аf (х) = аg (х) равносильны для любого числа

а ≠ 0.

• Уравнения f (х) = g (х) и а ^{f (х)} = а ^{g (х)} равносильны для любого фиксированного положительного и не равного единице числа а.
• Уравнения f (х) = g (х) и f (х) = q(х) равносильны, если для любого действительного числа х₀ справедливо равенство g (х₀) = q(х₀).

 

Определение 2: Две функции у = f (х) и у = g (х) называются тождественно равными, если для любого действительного числа х₀ значения функций

у = f (х) и у = g (х) равны, то есть f (х₀) = g (х₀).

При преобразованиях 1-5 исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение. Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное.

Например, при возведении в квадрат обеих частей уравнения  получается уравнение х = (х – 2)², не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень х = 4, а второе – два корня х₁ = 4 и х₂ = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

 

Определение 3: Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Уравнение (х – 1)² = (2х + 1)² является следствием уравнения

х – 1 = 2х + 1, поскольку единственный корень второго уравнения х = -2, является корнем первого уравнения.

2. Уравнение х² + 2х = 6 + 3х является следствием уравнения log₂ (х² + 2х) = log₂ (6 + 3х), так как любой корень второго уравнения удовлетворяет первому уравнению.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

• Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
• Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

Теоремы:

• Пусть n – натуральное число, тогда уравнение fⁿ (х) = gⁿ(х) есть следствие уравнения f(х) = g(х).
• Если а > 0 и а ≠ 1, то уравнение f(х) = g(х) есть следствие уравнения log _n f (х) = log _n g (х).
• Уравнение f (х) = g (х) q(х) есть следствие уравнения f (х)/ g (х) = q(х).
• Уравнение f (х) = g (х) есть следствие уравнения f (х) = g (х) + q(х) +(- q(х)).

 

Если при решении уравнений применялись теоремы 1 – 4, то в конце решения необходима проверка: является ли корень уравнения – следствия корнем исходного  уравнения, так как могли появиться посторонние корни.

 

P      Понятие системы уравнений и равносильности систем.

Определение 4: Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Определение 5: Решением  системы уравнений называется совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Определение 6: Две системы уравнений называются равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Системы будут также являться равносильными, если каждая из них не имеет решений.

Теорема 1. Если изменить порядок уравнений системы, то полученная система равносильна исходной системе.

Теорема 2. Если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

 

Так, например, система

 равносильна системе

 

Теорема 3. Если первое уравнение системы  заменить уравнением, равным  сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число , и второго уравнения умноженного на некоторое число , то полученная система уравнений равносильна данной.

Так, системы       и        равносильны.

Теорема 4. Пусть в системе уравнений одно из уравнений записано в виде, где в левой части стоит одно из неизвестных, например  в первой степени, а в правой части — многочлен относительно . Тогда говорят, что неизвестное  выражено через неизвестное . Если неизвестное  выражено из первого уравнения системы, то подставив во второе уравнение системы вместо  этот многочлен от  получим систему, равносильную данной системе.

Теорема 5. Если первое уравнение системы равносильно совокупности  алгебраических уравнений, то система  равносильна совокупности  систем уравнений.

 

При решении систем уравнений в любом классе любым способом необходимо учить учащихся отслеживать равносильность при переходе к следующей системе, так как одной из распространенных ошибок является неумение определить необходимость нахождения области допустимых значений или проверки, что в последствии приводит к записи постороннего корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

 

2.1. Система двух уравнений первой степени.

 

Системой двух уравнений первой степени называется система вида

 

где             

Основными методами решения таких систем являются метод подстановки, метод линейного преобразования и графический метод.

 

P      Метод подстановки

Рассмотрим решение систем уравнений методом подстановки.

Правило применения способа подстановки:

• из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое;
• полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным;
• решив это уравнение, найти значение неизвестного;
• подставив найденное значение в первое уравнение, найти значение другого неизвестного

Рассмотрим примеры на применение этого метода.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение: Неизвестное х уже выражено через у в первом уравнении. Подставив во второе уравнение 2 + у вместо х, получим 3(2 + у) – 2у = 9. Решим это уравнение: 6 + 3у – 2у = 9, у = 3

Подставляя у = 3 в равенство х = 2 + у, находим х = 5

Ответ: (5;3)

 

Пример 2.

Решить систему уравнений

 

Пример 3.

Решить систему уравнений

Решение: Из первого уравнения системы находим . Данная система равносильна системе                                               (1)

Подставляя  вместо  во второе уравнение, получим, что исходная система равносильна системе , которую после тождественных преобразований можно переписать так:

                                                                                            (2)

Подставляя 2 вместо  в первое уравнение системы (2), найдем после тождественных преобразований, что она равносильна системе 

Следовательно, исходная система имеет единственное решение .

Ответ:

 

Пример 4.

Решить систему уравнений

 

Пример 5.

Решить систему уравнений:

Решение: Из первого уравнения находим –2у = 16 – 3х, у = –8 + 1,5х. Подставляя это значение у во второе уравнение системы, получим уравнение:

5х + 3(-8 + 1,5) = -5. Решая его, найдем х = 2. Подставляя значение х = 2 в равенство у = -8 + 1,5х, находим у  = -5 .

Ответ: (2; -5).

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:

 

Пример 7.

Решить систему уравнений

Решение:  Упростим уравнения системы:

                                                                                      (3)

Из первого уравнения системы (3) х = 12 – 2у. Подставив его во второе уравнение системы (3) и решив его, получим у = 6. Откуда х = 0.

Ответ: (0;6).

 

Пример 8.

Решить систему уравнений:

 

Пример 9.

Длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22см. Найти длину и ширину прямоугольника.

Данную задачу можно решить двумя способами: с помощью одной переменной и с помощью введения двух переменных.

Рассмотрим решение задачи вторым способом.

Схема решения задачи с помощью системы уравнений:

• вводим обозначения неизвестных и составляем систему уравнений;
• решаем систему уравнений;
• возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям, записываем ответ.

Решение:

Пусть длина прямоугольника х см, а ширина у см. Так как длина на 5 см больше ширины, составим первое уравнение: х – у = 5.

Так как периметр прямоугольника 22см, составим второе уравнение:

2(х + у) = 22.

Зная, что эти условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений:

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим

х = у + 5. Подставим это значение во второе уравнение, найдем у = 3.Откуда х = 8.

Длина прямоугольника равна 8 см, ширина – 3 см.

Ответ: 8см и 3см.

 

Пример 10.

Решить, применяя метод подстановки:

Две бригады собрали в месте 1456 ц ржи. Первая бригада собрала рожь с 46 га, а вторая бригада – с 35 га. Сколько центнеров собрала в среднем с 1 га каждая бригада в отдельности, если первая собрала с 1 га на 7 ц ржи больше, чем вторая.

 

Метод подстановки применяется также при решении более сложных примеров систем линейных уравнений и задач.

 

Пример 11.

Решить систему уравнений

Решение: Решим систему методом подстановки.

Из второго уравнения выразим у = 2х – 3 и подставим в первое. Получим уравнение 2| х - 2| + 6| х - 1| = 20.

• Если х ≤ 1,то раскрывая модули, получим 2(2 – х) + 6 (1 – х) = 20. Откуда х = -1,25; у = -5,5
• Если 1 < х < 2, то 2(2 – х) + 6 (х – 1) = 20, х = 5,5 (п. к)
• Если х ≥ 2, то 2(х – 2) + 6 (х – 1) = 20, х = 3,75; у = 4,5

Ответ: (-1,25; -5,5); (3,75; 4,5)

 

Пример 12.

Решить систему уравнений:

 

Решить систему уравнений:

Решение: Решим методом подстановки.

Из второго уравнения выразим у = ах – 3 и подставим в первое уравнение. Получим уравнение (3 + а) х + 2(ах –3) = 3. Раскрывая скобки и группируя, получим (1 + а) х = 3.

• если а = -1, то 0х = 3, корней нет
• если а ≠ -1, то уравнение имеет единственный корень х = 3/(1 + а),                у = – 3/(1 + а).

Ответ:      1) при а = -1 корней нет

2)при а ≠ -1 х = 3/(1 + а), у = – 3/(1 + а).

 

Пример 14.

Решить систему уравнений  

 

Пример 15.

Для каждого значения параметра  решить систему уравнений

Решение: При любом фиксированном  из первого уравнения системы находим . Подставляя это выражение во второе уравнение системы, находим, что исходная система при любом фиксированном  равносильна системе уравнений

                                                                     (4)

Если , то система (4) несовместна. Если , то система (4) имеет бесконечно много решений вида , , где d – любое число.

Если , то система  имеет единственное решение .

Ответ: Если , то ; если , то , , где ; если , то решений нет.

 

Пример 16.

После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.

Решение: Обозначим через х и у соответственно число десятков и число единиц искомого двузначного числа. Тогда для нахождения х и у из условия задачи имеем следующую систему уравнений:

                                                                          (5)

Из первого уравнения этой системы находим, что х = 2у + 2. Подставив 2у + 2 вместо х во второе уравнение системы (5), получим уравнение

,

которое имеет корня . Итак, система (5) имеет два решения: . Так как у есть значение числа единиц двузначного числа, то остается единственная возможность . Проверкой убеждаемся, что двузначное число 83 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 83

 

Пример17.

Смешали 30 % - ный раствор соляной кислоты с 10 % - ным и получили 600г 15 % - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение: Пусть 30 % - ного раствора взято х граммов, а 10 % - ного раствора взято у граммов. Тогда из условия ясно, что х + у = 600. Так как первый раствор 30%-ный, то в х граммах этого раствора содержится 0,3х граммов кислоты.

Аналогично в у граммах 10 % - ного раствора содержится 0,1у граммов кислоты. В полученной смеси по условию задачи содержится 600 • 0,15 = 90г кислоты, откуда следует 0,3х + 0,1у = 90.

Составим систему уравнений и решим её методом подстановки:

х = 150, у = 450

Ответ: 150г,450г

 

Пример 18.

Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый — сорокапроцентный, второй — шестидесятипроцентный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?

Решение: Обозначим через х кг количество сорокапроцентного и через у кг — количество шестидесятипроцентного растворов. Если сольем х кг сорокапроцентного раствора, у кг шестидесятипроцентного раствора и 5 кг чистой воды, то получим раствор весом в (х+у+5) кг, который по условию содержит 20 % кислоты. Поскольку в х кг сорокапроцентного раствора находится 0,4 кг кислоты, а в у кг шестидесятипроцентного раствора находится 0,6 кг кислоты, то в (х+у+5) кг находится (0,4х+0,6у) кг кислоты, что составляет 20 % от (х+у+5) кг, т.е. имеем уравнение

Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получим раствор весом (х+у+5) кг, в котором будет

(0,4х+0,6у+4) кг кислоты, что составляет 70 % от (х+у+5) кг, т.е. имеем уравнение

Итак, для нахождения х и у получили систему уравнений

, которую можно записать в виде . Решением этой системы является пара  чисел х=1 и у=2. Следовательно, было 1 кг сорокапроцентного и 2 кг шестидесятипроцентного растворов серной кислоты.

Ответ: 1кг сорокапроцентного и 2 кг шестидесятипроцентного растворов.

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить системы уравнений методом подстановки:

1)    2) 3)         4)   

5)          6)         

7)

8) Сумма двух чисел равна 304, а их разность 96. Найти эти числа.

9) На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?

10) В январе два цеха изготовили 1080 деталей. В феврале первый цех увеличил выпуск на 15%, второй – на 12%, оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в феврале каждый цех?

 

►Контроль:

1) Решите систему уравнений способом подстановки:

 и, обозначив  решение системы, вычислите значение выражения

а)17;           б)5;             в)13;           г)10

2) Решите систему уравнений:  и, обозначив  решение системы, вычислите значение выражения

а)10;           б)8;             в)6;             г)12.

3) Дана система: . При каком значении а решением системы является пара чисел ?

а)-2;            б)2;             в)-1;            г)1

4) На одно платье и три сарафана пошло 9 м ткани, а на три таких же платья и пять таких же сарафанов – 19м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и сколько на один сарафан?

5) Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, на 54 больше данного числа. Найти это число.

 

P      Метод линейного преобразования

При решении систем линейных уравнений применяется также метод линейного преобразования.

Правило применения способа алгебраического сложения:

• уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
• складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;
• подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Рассмотрим решение системы уравнений этим методом.

 

Пример1.

Решить систему уравнений:

Решение: Складывая два уравнения, получим 5х = 20, откуда х = 4.

Подставляя х = 4 в первое уравнение, найдем у = 3.

Ответ: (4;3).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: Умножив первое уравнение системы на , а второе на , получим систему  равносильную исходной.

Складывая первое и второе уравнения этой системы, получим систему

, равносильную исходной.

Умножив первое уравнение этой системы на , и разделив второе на , получим систему ,                                                       (6)

равносильную исходной.

Умножив первое уравнение системы (6) на  и складывая полученное уравнение со вторым уравнением системы (6), имеем систему

, равносильную исходной. Отсюда следует, что исходная система

имеет единственное решение .

Ответ:

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

 

Пример 5.

Решить систему уравнений:

Решение: Раскрывая скобки, преобразуем систему к виду

Из первого уравнения, умноженного на 3, вычтем второе уравнение, домноженное на 5. Получим у = 2. из первого уравнения найдем х = 1.

Ответ: (1;2).

 

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:

 

Пример 7.

Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый рабочий работал 15 дней, а второй – 14 дней. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за один день, если первый рабочий за 3 дня изготовлял на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Решение: Пусть первый рабочий изготавливал за один день х деталей, а второй – у деталей. По условию задачи составим следующую систему:

Домножив второе уравнение на 7, сложим с первым. Получим х = 40.

40 деталей изготавливал за один день первый рабочий;

3•40 – 2у = 60, у = 30

30 деталей в день изготавливал второй рабочий.

Ответ: 40 и 30 деталей.

 

Пример 8.

Моторная лодка прошла путь по течению реки 12 км и обратно за 2,5 часа. В другой раз та же лодка за 1ч 20мин прошла по течению реки 4 км, а против течения реки 8 км. Найти скорость моторной лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение: Пусть собственная скорость лодки х км/ч, а скорость течения реки у км/ч, тогда скорость лодки по течению реки (х + у) км/ч, а скорость лодки против течения (х – у) км/ч. По условию задачи составим систему:

                                                                               (7)

Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 3. Получим

, х – у = 8                                                                               (8)

Вычтем из первого уравнения первоначальной системы(7) второе уравнение, умноженное на 3.

Получим , х = у = 12                                                                (9)

Уравнения (8) и (9) образуют систему:

Ещё раз применяя метод сложения, получаем х = 10, у = 2.

Ответ: 10 и 2 км/ч.

 

Пример 9.

Сумма первого и шестого членов геометрической прогрессии равна 55, а их разность равна . Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение: а₁ - первый член арифметической прогрессии, а₆ – шестой член. Составим систему уравнений: , решая методом сложения, получим

Сумму шести первых членов арифметической прогрессии найдем по формуле

Ответ: 165

 

Пример 10.

Решить систему уравнений:

Решение: Запишем систему в виде:

Вычитая из первого уравнения второе, получим: |у – 5| + у = 6

Рассмотрим случаи:

1случай. Если у – 5 ≥ 0, значит у ≥ 5

Тогда  уравнение примет вид  у – 5 + у = 6, откуда

2у = 11, у = 5,5. Следовательно, решая уравнение 

| х – 1| = 0,5 , находим, что х₁ = 1,5 или х₂ = 0,5.

2случай. Если у – 5 < 0, у <5, то 5 – у + у = 6, откуда 0у = 1 и решений нет.

Ответ: (1,5; 5,5); (0,5;5,5).

 

EЗадания для самостоятельного решения

Решить системы уравнений методом алгебраического сложения:

1) 2)       3)

4)

5) Для 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей получили сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

6) Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч поезда встретились. Если же первый поезд отправится на 4 ч 20 мин раньше второго, то встреча произойдет через 8 ч после отправления второго поезда. Сколько километров в час проходит каждый поезд?

 

P      Графический метод

При решении систем линейных уравнений применяется также графический

метод.

Правило решения графическим способом:

• построить графики каждого из уравнений системы;
• найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются);

Рассмотрим решение линейных систем таким способом.

 

Пример 1.

Решить графически систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения 2х – у = 1 находим у = 2х – 1; из уравнения 4х + 3у = 12 находим у = -4/3х + 4. Построим в одной системе координат эти прямые.

Они пересекутся в точке (1,5; 2).Значит, система имеет единственное решение.

Ответ: (1,5; 2).

 

Пример2.

Решить систему уравнений графически:

При решении системы двух линейных уравнений первой степени возможны три ситуации:

• система имеет единственное решение (графики пересекаются в одной точке);
• система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают);
• система решений не имеет (прямые параллельны).

Пример 3.

Решить графически систему уравнений:

Решение: Из второго уравнения выразим  и построим графики функций. Они пересекутся в двух точках.

Ответ: (3;2);(0;1).

 

Пример 4.

Показать графически, что система не имеет  решений:

Решение: Выразим из второго уравнения у = 3х – 1,5. Построим графики функций у = 3х и у = 3х – 1,5.

 

Графики параллельны, поэтому система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

 

P      Аналитический метод

Вопрос о количестве решений системы линейных уравнений  более удобно решать аналитическим методом.

 

Пример 5.

Определите число решений системы:

а)        б)        в)

Решение:

а) Коэффициенты при х и у второго уравнения системы не равны нулю и , поэтому система имеет единственное решение.

б) Все коэффициенты второго уравнения не равны нулю и

, поэтому система имеет бесконечное множество решений.

в) Все коэффициенты второго уравнения системы не равны нулю и , поэтому система не имеет решений.

 

Пример 6.

Определите все значения параметра а, при которых система уравнений  имеет единственное решение.

Решение: Если а ≠ 0, то система имеет единственное решение, если выполняется условие , .

Так как уравнение  имеет два корня а₁ = 1 и а₂ = -2/3, то при всех а ≠ 1 и а ≠ -2/3 система имеет единственное решение.

Ответ: при а ≠ 1 и при а ≠ -2/3

 

EПримеры для самостоятельного решения:

Решить графически системы уравнений:

1)       2)    3)

4) Показать графически, что система уравнений имеет единственное решение:

5) Укажите все значения параметра а, при которых система уравнений

 имеет бесконечное множество решений.

6) Укажите все значения параметра а, при которых система уравнений

 не имеет решений.

 

►Контроль:

1) Решить системы методом алгебраического сложения:

а)             б)

2) Отряд туристов вышел в поход на 9 байдарках, часть которых – двухместные, а часть – трехместные. Сколько двухместных и сколько трехместных байдарок в походе, если отряд состоит из 23 человек?

3) Решить с помощью графиков систему уравнений:

4) Подберите такое значение , при котором система (а) имеет единственное решение; система (б) не имеет решений; система (в) имеет бесконечное множество решений:

а)              б)           в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Нелинейные системы

 

Основными методами решения систем нелинейных уравнений являются те же методы, которые применялись при решении систем линейных уравнений. Это метод подстановки, метод линейного преобразования, графический метод. Но при решении данных систем используется и новые  методы: метод введения новой переменной, метод деления (умножения) одного уравнения на другое. Иногда  при решении сложных систем применяются несколько методов.

 

P      Метод подстановки

Чаще других при решении нелинейных систем учащиеся  применяют метод подстановки. Смысл данного метода был показан при решении линейных систем уравнений. Покажем применение данного метода при решении нелинейных систем.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Подставив значение у = 3х + 2 во      второе уравнение системы, получим: х² – 6х - 4 = 3, откуда х₁ = 7, х₂ = -1. Тогда из первого уравнения у₁ = 23, у₂ = -1.

Ответ: (7;23); (-1; -1).

 

Пример 2. Решить систему уравнений:

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:     

Решение: Выразим из первого уравнения х = 1 – у и подставим во второе. Получим (1 – у)² + у² = 25, у² – у – 12 = 0, откуда у₁ = 4,

у₂ = -3.Подставив эти значения в выражение х = 1 – у, получаем, что

 х₁ = -3, х₂ = 4.

Ответ: (-3;4);(4;-3).

 

Пример4.

Решить систему уравнений

 

Пример 5.

Решить систему уравнений методом подстановки: .

Решение: Выразив из первого уравнения х = 4 + у и подставив его во второе уравнение после преобразований получим:у² + 4у – 5 = 0, тогда у₁ = -5, у₂ = 1, х₁ = -1,  х₂ = 5.

Ответ: (-5;1);(-1;5).

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:

 

 

 

 

 

Пример7.

Решить систему уравнений:

Решение:

Эту систему можно решить методом подстановки аналогично системе в примере 5. Но проще решить другим способом. По теореме, обратной теореме Виета, числа х и у являются корнями квадратного уравнения z² – 5z– 14 = 0. Решая это уравнение, получаем z₁ =7;   z₂ = -2. Следовательно, решениями системы являются следующие пары чисел: х₁ = 7,у₁ = -2 и х₂ = -2, у₂ = 7.

Ответ: (7;-2);(-2;7).

 

Пример 8.

Решить систему уравнений:

Решение: Запишем второе уравнение системы так: (х + у)(х – у) = 40.

Подставляя в это уравнение х – у = 4, получаем 4(х + у) = 40.

Данная система свелась к системе

Решая её, получим х = 7, у = 3.

Ответ: (7;3).

 

Пример 9.

Решить систему уравнений:

 

 

Пример 10.

Решить систему уравнений:

Решение: Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разность кубов.

Тогда второе уравнение примет вид: (х – у)(х² + ху + у²) = 126,

 (х – у)² + 3ху = 21, откуда получим систему уравнений:

Следовательно, система имеет два решения:    

Ответ: .

 

Пример 11.

Решить систему уравнений:

 

Пример 12.

Решить систему уравнений:

Решение: Если (х ; у) – решение этой системы, то х ≠ 0 и у ≠ 0. Запишем первое уравнение системы так: (х + у)/ху = 1.Подставляя значение х + у = 4 в полученное уравнение, находим ху = 4. Решение данной системы свелось к решению системы

.

Решая её с помощью теоремы, обратной теореме Виета, получаем х = 2, у = 2.

Ответ: (2;2).

 

Пример 13.

Решить систему уравнений:

 

Пример 14.

Решить систему уравнений:

Решение: Выразим х² из первого уравнения системы и подставим это выражение во второе уравнение: х² = 7 +у, (7 + у) у = 18,откуда у₁ = -9, у₂ = 2. Пользуясь формулой х² = 7 + у, найдем значение х: если у = 2, то х² = 9, откуда х =3 или х = -3; если у = -9, то х² = -2  0, поэтому действительных корней нет.

Ответ: (3;2);(-3;2).

 

Пример 15.

Решить систему уравнений:

Решение: Выразим из второго уравнения х = 16 + у и подставим во второе. Имеем . Возведем в квадрат левую и правую часть. Получим , . Ещё раз возведем в квадрат обе части, выполним тождественные преобразования и получим у = 9, х = 25.

Ответ: (25;9).

 

 

Пример 16.

Решить систему уравнений:

Пример 17.

Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найти эти числа.

Решение: Данную задачу можно решить двумя способами: методом введения одной переменной и методом введения двух переменных. Покажем решение этой задачи через систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть х и у – заданные числа. Тогда составим систему уравнений:

Решая эту систему методом подстановки или с применением теоремы, обратной к теореме Виета, найдем х₁ = 8, х₂ = 18, у₁ = 18,у₂ = 8.

Ответ: 8 и 18.

 

Пример 18.

Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30м. площадь газона 56м². Найдите длины сторон газона.

 

Пример 19.

Два девятых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 490 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 3,5 р. дороже и истратил на билеты 350 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом?

Решение: Пусть в первом девятом классе – х учеников, а во втором девятом – (х – 15) учеников; стоимость каждого билета, купленного первым девятым классом, - у р., а вторым (у + 3,5) р. Первый класс за все билеты заплатил 490 р., составим первое уравнение: ху = 490, второй класс заплатил 350 р., составим второе уравнение:

(х – 15) (у + 3,5) = 350.

Зная, что эти условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений (ОДЗ: х > 0, у > 0): . Решая методом подстановки, получим

Решим второе уравнение, приведя его к квадратному:

. Откуда ; условию задачи не удовлетворяет;

Ответ: 35 билетов по 14 р. и 20 билетов по 17,5р.

 

Пример 20.

Три коневодческие фермы сделали равные запасы овса, необходимого для подкормки лошадей, число которых на этих фермах было разным. Первой ферме этого запаса овса хватает на 105 дней. Второй ферме, имеющей на 10 лошадей больше первой, запаса овса хватит на 100 дней, если дневную норму овса для каждой лошади уменьшить на 1 кг. На столько же  дней хватит овса третьей ферме, где лошадей на 10 меньше, чем на первой, но дневная норма овса на 3 кг больше, чем на первой. Сколько лошадей на каждой ферме и какова суточная норма овса на каждой из них?

 

Пример 21.

Двое рабочих закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один выполнил половину этой работы, а другой – остальную, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 часов. За какое время каждый их них закончил бы эту работу, работая один?

Решение: Обозначим всю работу за 1. пусть первый рабочий закончит работу за х часов, а второй – за у часов. Тогда за один час первый рабочий выполнил  работы, а второй –  работы. Работая вместе, за один час они выполнят (+) работы, и по условию задачи закончили работу за 12 часов. Поэтому составим первое уравнение: .

Половину работы первый рабочий выполнил бы за х/2 часов, а второй – за у/2 часов. Поскольку им понадобилось бы на выполнение 25 часов, составим второе уравнение: . Теперь составим и решим систему уравнений(ОДЗ: х > 0, у > 0):

. Решая эту систему методом подстановки, получим         х = 30, у = 20.

Ответ: 30 и 20 часов.

 

Пример 22.

Два каменщика выложили стену за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней смог бы выложить эту стену каждый каменщик, работая отдельно?

 

Сложные системы уравнений, решаемые методом подстановки, и задачи целесообразно рассмотреть на факультативе.

 

 

 

Пример 23.

Решить систему уравнений:

Решение: Данная система равносильна системе

или, после тождественных преобразований, системе

                                                                                  (1)

Первое уравнение системы (1) имеет два корня  и

Поэтому система (1), а значит, и исходная система имеет два решения , , , .

Ответ: .

 

Пример 24.

Решить систему уравнений:

Решение: Данная система равносильна системе

                                                                         (2)

Заменяя во втором и третьем уравнениях  на , получим систему

                                                                                  (3)

равносильную исходной. Из третьего уравнения системы (3) следует, что

                                                                                                    (4)

Подставляя  вместо  во второе уравнение системы (3),

получим уравнение , которое имеет единственное решение . Подставляя  вместо  в уравнение (4) и в первое уравнение системы (3), находим, что .

Ответ: .

 

Рассмотрим применение метода  подстановки на примере решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, когда одно из уравнений этой системы есть однородное уравнение второй степени, т. е уравнение

.

Итак, рассмотрим систему

                                                                            (5)

где —многочлен относительно  и

Если , то в силу равенства , система (5) равносильна совокупности двух систем и  решаемых методом подстановки. Поэтому далее будем считать, что .

         Первое уравнение данной системы имеет решение ,  и при  не имеет других решений,  которых  

Будем дальше искать решения, у которых .

Если , т.е. если квадратный трехчлен  не имеет корней, то первое уравнение системы (11) в силу равенства (для )

имеет единственное решение , .

Если эта пара чисел  удовлетворяет второму уравнению системы (5), т. е. выполнено равенство , тo система имеет единственное решение . В случае же  исходная система не имеет решений.

Если  и уравнение  имеет корни  и  (возможно, ), то из равенства

следует (для ) тождество

и, значит, исходная система равносильна совокупности систем

                       , каждую из которых можно решить методом подстановки.

 

Пример 25.

Решить систему уравнений:

Решение: Поскольку   и  не являются решением данной системы и квадратное уравнение  имеет корни , то исходная система равносильна совокупности систем уравнений

                           

Решая первую систему методом подстановки, получаем, что она равносильна системе

 множество решений которой, а значит, и исходной состоит двух пар чисел:  Решая вторую систему методом подстановки, получаем, что она. равносильна системе

 множество решений которой, есть также две пары чисел:

Итак, исходная система имеет четыре решения:

Ответ:

 

Пример 26.

Решить систему уравнений

Решение: Возведя обе части каждого из уравнений данной системы в квадрат, получим систему

                                                                      (6)

Все решения исходной системы являются решениями системы (6), но не обязательно все решения системы (6) будут решениями исходной системы, поэтому после нахождения решений системы (6) из них надо отобрать те, которые будут решениями исходной системы.

Из первого уравнения системы (6) получаем . Подставим  вместо х во второе уравнение. Получим квадратное уравнение

корни которого . Значит, система (6) имеет два решения: . Непосредственная проверка показывает, что единственным решением исходной системы является пара чисел .

Ответ:

 

Пример 27.

Найти значения параметра а, при которых система уравнений

 (7)      имеет действительные решения при любом значении .

Решение: Подставляя у = ах +  в первое уравнение, получаем

х²(1 – а²) – 2ах – (1 + ²) = 0                                                                 (8).

Система (7) будет иметь действительные решения при любом значении в тогда и только тогда, когда уравнение (8)вместе со вторым уравнением системы (7) образуют систему, равносильную системе (7).

Если  |а| ≠ 1, то уравнение (8) является квадратным, а его дискриминант D = 4(1 + ² – а²).

Пусть |а|<  1, то есть -1 < а < 1, тогда 1 – а² > 0, откуда следует, что

D > 4² ≥ 0 и поэтому уравнение (8) имеет действительные корни при любом значении в.

Пусть |а| = 1, тогда при  = 0 уравнение (8) не имеет корней.

Если |а |> 1, то D <0 при  = 0.

Итак, если  | а| ≥ 1, то найдется такое значение  (=0), при котором система (7) не имеет действительных корней.

Ответ: -1<а<1.

 

Пример 28.

Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала в час на одну деталь больше, а вторая бригада в 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в 1 час делала каждая бригада?

Решение: Пусть первая бригада делала в час х деталей, а вторая бригада — у деталей; тогда за один час они вместе делали х + у деталей, и 72 детали сделали за  часов. Следовательно, раздельно в первый день они работали часов. За это время первая бригада сделала

деталей,  а вторая бригада сделала  деталей, и из условия задачи вытекает, что

Во второй день первая бригада делала в час х+1 деталей, а вторая бригада делала в час у — 1 деталей. Так как обе бригады в час делали опять х + у деталей, то 72 детали они сделали за  часов и раздельно работали  часов.

За это время первая бригада сделала  деталей, а вторая бригада сделала  деталей, и из

условия задачи вытекает, что

Итак, для нахождения х и у получили систему уравнений

                                                                    (9)

Обозначим , тогда система (9) запишется

в виде

                                                                                   (10)

Перепишем эту систему так:

Отсюда ясно, что эта система равносильна системе

Из второго уравнения . Подставляя  вместо  в первое уравнение, получаем уравнение  которое имеет два корня . Тогда . По условию задачи х > у, т.е.

 и = х — у >0. Следовательно, для нахождения х и у имеем систему уравнений

. Решение этой системы . Легко видеть, что эти х и у удовлетворяют условию задачи. Следовательно, первая бригада делала за один час 13 деталей, а вторая-11 деталей.

Ответ: Первая бригада делала за один час 13 деталей, а вторая — 11 деталей.

 

Пример 29.

После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.

Решение: Обозначим через х и у соответственно число десятков и число единиц искомого двузначного числа. Тогда для нахождения х и у из условия задачи имеем следующую систему уравнений:

                                                                          (11)

Из первого уравнения этой системы находим, что х = 2у + 2. Подставив 2у + 2 вместо х во второе уравнение системы (11), получим уравнение

,

которое имеет корни . Итак, система (11) имеет два решения: . Так как у есть значение числа единиц двузначного числа, то остается единственная возможность . Проверкой убеждаемся, что двузначное число 83 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 83

 

EЗадачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений методом подстановки:

1)             2)           3)

4)           5)           6)

7)

8) Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?

9) Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший?

10) Решить систему уравнений методом подстановки:

►Контроль

1. Какие из перечисленных ниже пар чисел являются решениями системы: .

а) ;                 б) ;                   в) ;                г) .

2. Решите систему уравнений:

а) ;                                         б) ;

в) ;                                    г) ;

 

3. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см², а сумма его катетов равна 11см. Найти катеты.
4. Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Сначала первая машинистка работала одна 7 дней, а затем к ней присоединилась вторая, после чего они закончили работу за 8 дней. Известно, что первой машинистке на выполнение всей работы потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второй. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно?
5. Решить систему методом подстановки:

 

P      Метод линейного преобразования

При решении систем нелинейных уравнений применяется также метод алгебраического сложения, а при решении некоторых систем одновременно и с методом подстановки.

Покажем применение данного метода при решении систем.

 

 

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Сложив уравнения, имеем х² + х = 0, х(х + 1) = 0, откуда х₁ = 0,

х₂ = -1. Подставим эти значения х во второе уравнение и найдем у₁ = 1, у₂ =2.

Ответ: (0;1);(-1;2).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: Складывая уравнения системы, получаем 2ху = 20, ху = 10.

Вычитая из второго уравнения первое, имеем 2х – 2у = 6. Данная система равносильна системе уравнений: . Решая её методом подстановки, получим х₁ = -2, у₁ = -5 и х₂ = 5, у₂ = 2.

Ответ: (-2;-5); (5;2).

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

 

Пример 5.

Решить систему уравнений:

Решение: Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное на 2: , откуда ,  или . Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений:  и

Решая каждую из этих систем, используя теорему, обратную теореме Виета, находим четыре решения: х₁ = 1, у₁ = 3; х₂ = 3, у₂ = 1; х₃ = -1,

у₃ = -3; х₄ = -3; у₄ = -1.

Ответ: (1;3);(3;1);(-1;-3);(-3;-1).

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:

 

На факультативах рассмотрим более сложные системы, решаемые данным методом.

 

Пример 7.

Решить систему уравнений:

Решение: Заменяя второе уравнение системы суммой первого уравнения, умноженного на 3, и второго, умноженного на (— 2), получим, что исходная система равносильна системе  или системе

                                                 (12)

Первое уравнение системы (12) имеет два корня . Поэтому система (12) имеет два решения:

Ответ: .

 

Пример 8.

Решить систему уравнений

Решение: Заменяя первое уравнение системы разностью уравнения системы и второго уравнения, получим, что исходная система уравнений равносильна системе

                                                               (13)

Первое уравнение этой системы имеет два корня:  Подставляя 2 вместо  во второе уравнение системы (13), получаем, что оно удовлетворяется при любом значении . Следовательно, система (13), а значит, и исходная система имеют решение вида (2,), где  — любое действительное число. Подставляя () вместо  во второе уравнение системы (13), получаем, что . Следовательно, исходная система имеет еще одно решение .

 

Второе решение: Данную систему уравнений можно переписать в виде

                                                                      (14)

откуда следует, что ей удовлетворяют все пары чисел ,где —любое число. Для  система (14) равносильна теме уравнений

                                                                                    (15)

имеющей единственное решение , .

Ответ: ,, где у — любое действительное число.

 

Иногда для решения системы сначала применяют способ линейного преобразования системы, чтобы сделать одно из уравнений однородным.

 

Пример 9.

Решить систему уравнений:

Решение: Умножив первое уравнение на 2, второе на 3 и из первого уравнения вычитая второе уравнение, будем иметь систему

 равносильную исходной, в которой одно из уравнений однородное. Поскольку корнями, квадратного уравнения

являются , то данная система равносильна совокупности систем

                                         

Решениями первой системы этой совокупности являются

, а вторая система решений не имеет

Итак, множество решений исходной системы есть две

пары чисел

Ответ: .

 

Рациональные системы уравнений.

Так называются системы уравнений вида где

 и , i=1, 2,—рациональные дроби, т. е частные многочленов от переменных  и .

Решение рациональной системы уравнений, как правило, сводится к решению некоторой алгебраической системы уравнений, получающейся из исходной домножением на подходящий многочлен. После того как найдены все корни алгебраической системы уравнений, следует отбросить те из них, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы одной из рациональных функций, входящих в систему. Оставшиеся решения алгебраической системы составят множество решений исходной системы рациональных уравнений.

 

Пример 10.

Решить систему уравнений:

Решение: Умножая уравнения заданной системы, соответственно на ,  и , получим алгебраическую систему уравнений

                                                                                            (16)

Вычитая первое уравнение системы (16) из второго и третьего уравнений, получим систему уравнений

                                                                                         (17)

равносильную системе (16).

Поскольку все решения исходной системы удовлетворяют условию , то из (17) следует, что для любого решения исходной системы должны выполняться равенства .

Подставляя  вместо  и  в первое уравнение системы (17), приходим к квадратному уравнению

имеющему корни . Отсюда следует, что

все решения системы (16), удовлетворяющие условию , имеют вид . Ими и исчерпывается множество решений заданной системы уравнений.

Ответ:

 

EЗадания для самостоятельного решения:

Решить системы методом алгебраического сложения:

1)           2)               3)

 

P      Графический способ

Одним из способов решения систем нелинейных уравнений является графический метод, но применяется очень редко по причине невозможности построить графики функций. Покажем применение данного метода на конкретных примерах.

 

Пример1.

Решить графически систему уравнений:

Решение: Выразим из первого и второго уравнений у и построим графики функций:  и .

Гипербола и прямая пересекутся в двух точках.

Ответ: (-1;-3);(3;1).

 

Пример 2.

Решить графически систему уравнений:

Пример 3.

Решить графически систему уравнений:

Решение: Выразим из первого и второго уравнений у и построим графики функций:  и

Парабола и прямая пересекутся в двух точках.

Ответ: (0;3);(-3;6).

 

Пример 4.

Решить графически систему уравнений:

 

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить системы графическим способом:

1)            2)       3)

 

►Контроль:

1. Решить системы методом алгебраического сложения:

а)           б)

2. Решить системы графическим методом:

а)                  б)

 

 

P      Метод введения новой переменной

Одним из новых способов решения систем нелинейных уравнений является метод введения новой переменной. Обозначив какие –то выражения новыми переменными, данная система сводится к более простой.

Покажем применение этого метода.

 

Пример1.

Решить систему уравнений методом введения новой переменной:

Решение: Обозначим  , тогда  . Второе уравнение системы теперь запишется так: .Откуда а₁ = , а₂ = .

При . Подставляя это выражение х в первое уравнение системы, получаем  , откуда у = 16, х = 25.

При а =  аналогично находим, что х = 16, у = 25.

Ответ: (25;16); (16;25).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений методом введения новой переменной:

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: Вводя неизвестные  и  находим:

,

Так что исходная система уравнений может быть переписана

                                                                                           (18)

Заменяя второе уравнение получившейся системы суммой его и удвоенного первого уравнения, приходим к системе

                                                                                     (19)

Система уравнений (18) имеет решения: . Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

                                                                        (19)

Первая из систем (19) имеет два решения: , а вторая система решений не имеет.

Ответ: .

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить методом введения новой переменной:

1)                

2)

3)

 

P      Метод почленного умножения

Ещё одним новым методом при решении систем нелинейных уравнений является метод почленного умножения (деления) уравнений. Покажем применение этого метода.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:  

Решение: Поделим первое уравнение на второе. Тогда

. Исходная система равносильна совокупности двух систем:

            и       .

Первая система имеет два решения: х₁ = 2,у₁ = 1 и х₂ = -2,у₂ = -1. Вторая система решений не имеет.

Ответ: (2;1); (-2;-1).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:  

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: По условию х ≠ 0, у ≠ 0, х – у ≠ 0. Разделим первое уравнение системы на второе, получим (х² + ху + у²)/ху = 7/2, 2х² – 5ху + 2у² = 0.

Рассматривая полученное уравнение как квадратное относительно х, найдем его корни х = 2у или х = у/2. Подставив найденные выражения х через у во второе уравнение системы, получаем:

• 4у³ – 2у³ = 2, откуда у³ = 1, у₁ = 1;
• у³/4 – у³/2 = 2, откуда у³ = -8, у₂ = -2.

Теперь найдем соответствующие значения х по формулам х = 2у и х = у/2. получаем х₁ = 2,х₂ = -1.

Ответ: (2;1);(-1;-2).

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

 

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить систему методом почленного деления:

1)        2)

 

„Контроль:

1. Решить систему уравнений методом введения новой переменной:

а)                   б)

2. Решить систему методом почленного деления:

а)                         б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

 

3.1. Системы уравнений, содержащие показательные уравнения.

 

При решении таких систем используются те же методы, что и при решении алгебраических систем (подстановки, алгебраического сложения, графический, введения новой переменной, умножения (деления) уравнений системы). Поэтому на уроках не только изучается новая тема, но и  повторяется  материал 7, 8, 9 классов.

 

 

P      Метод подстановки

Рассмотрим применение метода подстановки при решении систем, содержащих показательные уравнения

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Выразим из первого уравнения х = 1 – у  и подставим во второе. Получим . Тогда  = 2.

Ответ: (2;-1).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:  

Решение: Из первого уравнения выразим  и подставим во второе уравнение.

Получим , откуда ; у₁ = 3,у₂ = -1. Найдем значения х:  х₁ = -7, х₂ = 1.

Ответ: (-7;3);(1;-1).

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:  

 

Пример 5.

Решить систему уравнений:  

Решение: Система показательных уравнений сводится к системе нелинейных уравнений: , решая которую методом подстановки, получим у₁ = 2, у₂ = 5, х₁ = 5,у₂ = 2.

Ответ: (5;2);(2;5).

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:  

 

Пример 7.

Решить систему уравнений:  

Решение: Выразим из второго уравнения у = 2 + х и подставим во второе. Тогда

Ответ: (-2;0).

 

Пример 8.

Решить систему уравнений:  

 

Пример 9.

Решить систему уравнений:                                     (1)

Решение: Из второго уравнения системы находим, что

                                                                                          (2)

Подставляя  вместо у в первое уравнение системы (1), получаем уравнение  которое можно переписать в виде

                                                                           (3)

Поскольку квадратное уравнение

 имеет два корня , то уравнение (3) равносильно совокупности уравнений

Уравнение  имеет единственный корень . Уравнение  решений не имеет, так как  положительно для любого действительного числа х. Следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень . Подставляя это значение х в (2), находим, что . Следовательно, исходная система уравнений имеет единственное решение .

Ответ: .

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить системы методом подстановки:

1)               2)           3)

4)           5)       6)

 

P      Метод алгебраического сложения

Иногда системы показательных уравнений удобно решать методом алгебраического сложения. Покажем применение этого метода при решении упражнений.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Сложив почленно уравнения, получим 2 • 2^х = 8, 2^х = 4, 2^х = 2², откуда х = 2. Вычитая почленно уравнения, имеем: 2 • 2^у = 4, 2^у = 2, 2^у = 2¹, откуда у = 1.

Ответ: (2;1).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

 

P      Графический метод

Очень редко в данных системах применяется графический метод.

 

Пример 1.

Решить графически систему уравнений:

Решение: Выразим в каждом из уравнений  через . Получим следующую систему:

Построим графики функций.

Функция у = 2^х-1 монотонно возрастает на множестве действительных чисел, функция у = 8 – 3х монотонно убывает на этом же множестве, значит, других точек пересечения графики не имеют.

Ответ: (2;2)

 

Пример 2.

Решить графически систему уравнений:

 

Пример 3.

Пусть (х₀;у₀) – решение системы . Найдите сумму х₀ +у₀.

Решение: Построим графики функций:  и .

Графики пересеклись в единственной точке (3;4).

Ответ: 7.

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

1. Решить методом алгебраического сложения:
2. Решить графическим методом :

 

„Контроль:

1. Решить системы уравнений методом подстановки:

а)               б)

в)           г)

 

2. Решить методом алгебраического сложения:
3. Решить графическим методом:

 

 

P      Способ замены переменных

Одним из способов решения систем показательных уравнений является способ замены переменных. Этот способ сводит системы к более простым.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Обозначим . Тогда система примет вид:

. Выразив значения  из первого уравнения и подставив во второе, получим: , откуда  (посторонний корень). Тогда

Ответ: (3;-2).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: Положив , получим систему уравнений

 имеющую четыре решения:

Последние две пары не удовлетворяют условию  > 0,  > 0.

Отсюда  и

Из первой системы находим: х₁ = 0,5 ,у₁ = 0,25, из второй: х₂ = 0,25, у₂ = 0,5.

Ответ: (0,5;0,25);(0,25;0,5).

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить системы уравнений методом замены переменных:

1)

2)

 

P      Метод почленного умножения

В некоторых системах показательных уравнений удобно применять метод почленного умножения (деления). Покажем применение данного метода.

 

Пример 1.

Решите систему уравнений:

Анализ системы показывает, что не удается выразить одну переменную через другую. Однако сравнение показателей степеней множителей, входящих в левую часть обоих уравнений, наводит на мысль о необходимости умножения левых и правых частей уравнений для получения степени с одним основанием: , то есть .

Решение.

Ответ: (3;1).

 

Пример 2.

Решите систему уравнений:

 

EЗадачи для самостоятельного решения:

Решить систему уравнений:

1)        2)           3)

 

„Контроль:

1. Решить систему уравнений методом замены переменных:
2. Решить систему методом почленного умножения:

 

P      Нестандартные методы

На факультативах полезно рассмотреть решение систем, содержащих показательные уравнения, нестандартными методами.

 

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение: Рассмотрим два случая.

• Пусть у > 0,у ≠ Тогда из первого уравнения следует, что

5х² – 51х + 10 = 0, откуда х₁ = 10, х₂ = 0,2. Из второго уравнения находим у₁ = 1,5, у₂ = 75.

2) Пусть у = 1. Тогда первое уравнение выполняется при любом действительном х. Из второго уравнения следует, что х = 15.

Ответ: (10; 1,5); (0,2; 75); (15;1).

 

Пример 2.

Решить систему уравнений:

Решение: Умножив обе части второго уравнения на , получим систему

Разделим почленно второе уравнение на первое:  или , откуда  или . Остается решить систему уравнений          или .

Эту систему решаем методом алгебраического сложения. Получим , то есть , то есть .

Ответ: .

 

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение: Прологарифмируем обе части уравнений по основанию 2. Получим:

Разделим первое уравнение этой системы на второе уравнение ,

. Имеем: _. Решая его, получим у = 3. Из первого уравнения х = 4.

Ответ: (4;3).

 

Пример 4.

Решить систему уравнений:

Решение: Полагая, что , прологарифмируем оба уравнения по основанию 2:

Из равенства левых частей уравнения следует, что

Подставив  в первое уравнение, получим .

Ответ: (2;2).

 

 

Пример5.

Решить систему уравнений:

Это циклическая система, поэтому решим вырожденное уравнение системы , тогда . Поскольку функция  убывающая, а функция  возрастающая и , то  – единственное решение вырожденного уравнения. Докажем, что (1;1;1) – единственное решение системы. Предположим, что  решение системы и . Вычтем из обеих частей третьего уравнения системы соответствующие части второго уравнения .

Полученное равенство не может выполняться при сделанном предложении, так как в силу монотонности показательной функции левая часть равенства положительна, а правая – отрицательная.

Ответ: (1;1;1).

 

Пример 6.

Решить систему уравнений:

Решение: Рассмотрим векторы .

Тогда  и ,  и, значит .

Следовательно , откуда .

Тогда из первого уравнения системы получим, что  или . Следовательно, .

Тройка  является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 5 класс.

М. «Просвещение» 2000

2. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 6 класс.

М. «Просвещение» 2000

3. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

Алгебра 7 класс. М. «Просвещение» 2002.

4. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

 Алгебра 8 класс. М. «Просвещение» 2000.

5. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

Алгебра 9 класс. М. «Просвещение» 2000.

6. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М. «Просвещение» 2004.

7. А.Г. Мордкович Алгебра 7класс М. «Мнемозина» 2002.
8. А.Г. Мордкович Алгебра 8класс М. «Мнемозина» 2002
9. А.Г. Мордкович Алгебра 9класс М. «Мнемозина» 2002
10. Математика. Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004
11. Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 8класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004
12. Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 9 класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004
13. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. «Просвещение» 1990
14. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей в обучении математике. М. «Просвещение» 1996
15. Зотов Ю.Б. Организация современного урока.

М. «Просвещение» 1984

16. С.Г. Манвелов Конструирование современного урока математики.

М. «Просвещение» 2002

17. С.Л. Попцов как решать задачи с параметром.

Тверь. ТГУ 1998

18. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы по редакцией М.И. Сканави. М. «Высшая школа» 1994
19. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. М. «Теис» 1995

20.М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. Конкурсные задачи по математике.М. АО «Столетие» 1995

21. Газета «Математика» 1997-2004г.
22. Журналы «математика в школе» №3 2001,№2,5 2002, №3,6,7 2003, №3 2005