Вычисление должно производиться с той степенью точности,

которая необходима для практики,

причём всякая неверная цифра составляет ошибку,

а всякая лишняя цифра – половину ошибки.

А.Н. Крылов

 

Курс приближений и округлённых вычислений в школьной математике находится в положении Золушки. Дети его не понимают, учителя сокращают до 2-3 уроков. Причины этого понятны. Во-первых, почти вся школьная математика использует точные значения и школьникам трудно привыкнуть к мысли, что в математике бывает что-то кроме них, и тем более различать где надо считать точно, а где приближённо. Во-вторых, к этому курсу почти нет содержательных задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющие суть дела. В-третьих, имея калькулятор, школьникам проще сделать вычисления с восемью знаками, чем подумать о точности.

Настоящая статья содержит подборку задач по приближённым вычислениям на материале 5-7 класса. Задачи описывают наглядные жизненные ситуации, в которых формальные правила из учебника становятся более понятны (теория приближённых вычислений вырастала из практики и лучше всего может быть понята через практику).

1. У вас есть электронные весы, которые показывают массу с точностью 1 г, и одинаковые монетки. Одну монетку весы «не чувствуют» (т.е. она легче 1 г). Как возможно более точно определить массу монетки?
2. Игорь делит на . Как можно быстро проверить его ответ?

Числитель примерно равен 260, а знаменатель 20. Значит, ответ должен быть около 13.

1. В паспорте квадратного земельного участка написано, что его площадь равна 520 кв.м. Чему равна сторона участка (в метрах): а) с избытком, б) с недостатком, в) с округлением?
2. Объём кубического бака равен 800 куб.м. Найдите ребро бака (в метрах): а) с избытком, б) с недостатком, в) с округлением.

(Если длина измеряемого объекта заключена между a м и (a+1) м, то говорят, что длина равна а м с недостатком и а+1 м с избытком. Ту из этих двух величин, которая ближе к истинному значению, называют ещё «приближение с округлением». См. [2, п. 2.2].) Задачи 3 и 4 доступны и тем ученикам, которые ещё не знают, что такое квадратный и кубический корень – они могут использовать таблицы квадратов и кубов.

1. На карте Российских Железных Дорог написано, что от Москвы до станции Тюкан Амурской области 8004 км, а до станции Дежневка – 8485 км. Ясно, что это приближенные расстояния. Как ты думаешь – каким на самом деле может быть расстояние до Тюкана? На сколько расстояния до Дежневки может быть больше, чем расстояние до Тюкана (считаем, что карта составлена без ошибок)?

Для того чтобы можно было бы из самой записи приближённого числа судить о степени его точности, академик А.Н. Крылов предложил следующее правило: «Писать число так, чтобы в нём все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом не более как на одну единицу» [1]. Таким образом, расстояния до Тюкана и Дежневки указаны на карте с точностью 1 км. Т.е. по этим данным мы можем утверждать, что расстояние до Тюкана лежит в пределах от 8003,5 до 8004,5 км,  а расстояние до Дежневки – от 8484,5 до 8485,5 км. Тем самым разница расстояний может быть от 480 до 482 км.

1. Округлите величины из предыдущей задачи с точностью до 1000 км.

При округлении до 1000 км мы получим одно и то же значение 8000 км. По этой записи не видно, за какие цифры в числе мы ручаемся, т.е. округлили мы до десятков или до тысяч. Если важно различать: 8000 – это 80005 или 8000500, то можно явно указать интервал, как мы сейчас это  сделали. Чтобы различать эти случаи, не указывая интервалов, подчёркивают первую сомнительную цифру: 8000 и 8000 – первое число знаем с точностью до десятков километров, а второе – с точностью до тысяч. В случае записи числа в стандартном виде поступают ещё проще: пишут  и . В первой записи указаны три значащие цифры, во второй - одна. Подробнее см. [4, п. 8.3].

1. Запишите величины из задачи 5 с точностью до 100 км, до 10 км.
2.  «Да ты вымахал сантиметров на 5!» - воскликнула бабушка, увидев Мишу после годовой разлуки.- «Дай-ка я померяю тебя на ростомере» (она медсестра). Получилось 163 см 7 мм. «Значит, год назад во мне было 158 см 7 мм», - подумал Миша. Прав ли он?
3. Серёжа взвесился на японских электронных весах, забыв снять рюкзак. Весы показали 42 кг 312 г. Серёжа считает, что его рюкзак весит килограмм пять. Что можно сказать о весе Серёжи без рюкзака?

Обратите внимание на формулировку: не «найдите», а «что можно сказать»! Этот вопрос рассчитан на устное обсуждение в классе, когда учитель приучает детей к разумным уточнениям вопроса. Подразумевается, что мы хотим извлечь из даных наибольшую доступную точность.

1. Вася едет на велосипеде со спидометром, который показывает 4,21 м/c. Данила идёт навстречу со скоростью примерно 2 м/c. Какова скорость их сближения?

Примеры 8-10 поясняют следующее правило: чтобы найти приближённо сумму или разность двух чисел, известных с разной точностью, нужно предварительно округлить их с одинаковой точностью (до одного и того же разряда). Чтобы получить наибольшую доступную точность результата, просто округляют число, в котором известно больше разрядов, с точностью до последнего разряда другого числа (а другое не трогают). Cм. [3, п. 4.11; 4, п. 3.5].

1. Маша собирается поехать летом в Глазов по железной дороге через Нижний Новгород. Она узнала по атласу расстояние от Москвы до Глазова по железной дороге – 1163,1 км. Дедушка сказал ей, что от Москвы до Нижнего Новгорода примерно 400 км. Каково расстояние от Нижнего Новгорода до Глазова?
2. Даша узнала по справочнику массу Земли - 5,9725×10²⁴ кг. Из статьи она узнала, что за год на Землю падают метеориты общей массой в среднем 20 т. Она округлила и сложила эти величины по правилу из учебника, и обнаружила, что масса Земли за год не меняется. Что это значит?
3. Сторона квадратного участка примерно равна 35 м. Что можно сказать о его площади?

Казалось бы, надо просто посчитать , но за все ли четыре цифры мы можем ручаться? Ведь сторона может быть и 34,5 м и 35,5 м (последняя цифра сомнительна!). 34,5²=1190,25; 35,5²=1260,25. Поэтому только первая цифра площади определена достоверно; площадь приближенно равна 1200 кв.м или 1,2∙10³  кв.м.

1. Андрей помнит, что свет доходит от Солнца до Земли примерно за 8 минут. Он посмотрел в справочнике скорость света в вакууме: известное на сегодня значение равно 299 792,458 км/с. С какой точностью он может узнать расстояние от Солнца до Земли? Какое значение скорости света нужно взять для расчётов?

Если на самом деле свет идёт от Солнца до Земли 7,5 минут, то расстояние получится 134906606,10 км, а если 8,5 мин – то 152894153,58 км. Совпадает в этих ответах только первая цифра, значит, мы можем ручаться лишь за неё. Про вторую цифру можно утверждать, что она равна 3, 4 или 5. Остальные девять цифр никакой информации не несут! Писать их – значит вводить читателя в заблуждение (не говоря уже о том, что это лишняя работа). Итак, можно утверждать лишь, что расстояние от Солнца до Земли порядка 140 000 000 =  км. Заметим, что для получения этого ответа вовсе не надо знать скорость света с девятью значащими цифрами! Достаточно помнить, что она примерно равна 300 000 км/с – хватит одной значащей цифры.

Примеры 13 и 14 поясняют следующее правило: чтобы найти приближённо произведение (или частное) двух чисел, нужно предварительно округлить их до одной и той же значащей цифры, перемножить (или разделить) и результат округлить до той же значащей цифры. Чтобы получить наибольшую доступную точность результата, округляют число, известное с большим количеством значащих цифр, с точностью до последней значащей цифры другого числа (а другое не трогают). См. [3, п. 4.11; 4, п. 3.5].

1. Программисту Денису в конце месяца заплатят 1321 доллар. Курс доллара порядка 24 руб. На какую сумму в рублях может рассчитывать Денис?
2. В течение зимней спячки медведь теряет около 30% веса. Осенью Ярослав ходил в зоопарк и прочитал на клетке медведя Потапыча, что он весит 231 кг. Сколько будет весить Потапыч весной?
3.  Весной Ярослав снова сходил в зоопарк и узнал, что медведица Маша после спячки весит 156 кг. Сколько она весила осенью?
4. Данила на глазок прикинул, что длина прямоугольника – порядка 1 м. Саша с помощью линейки измерила ширину прямоугольника и получила величину 33 см5 мм. Что по этим данным можно сказать о периметре прямоугольника? О его площади? Нужно ли было Саше измерять длину линейкой или достаточно было тоже прикинуть?

Этот пример показывает, что если часть измерений выполнена грубо, то слишком точно выполнять остальные уже нет смысла – только лишние хлопоты, а итоговую точность всё равно не повысишь. Если же большая точность всё-таки требуется (например, учителю), то придётся выполнять с нею все измерения (то есть Даниле тоже придётся поработать линейкой).

1. Велика или мала погрешность в 1 см?

Данных недостаточно. Если вы измеряете длину спичечного коробка, то велика. А если расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны, то очень мала. Ясно, что надо (абсолютную) погрешность соотносить с измеряемой величиной. Частное этих величин называется относительной погрешностью. См. [5, п. 9.3].

1. Даша знает, что её  масса 40 кг  1 кг. Она считает, что знает свою массу с большей точностью, чем массу Земли (см. задачу 12). Права ли Даша?

К нашей теме естественным образом примыкают задачи на прикидки. Для грубой прикидки (оценить эффект) обычно хватает одной-двух значащих цифр.

1. Какова ширина часового пояса?

На границах часового пояса разница времени составляет 1 час. Строго говоря, вопрос некорректен: ширина зависит от широты – у экватора самая большая, у полюса обращается в 0. Длина экватора Земли 40 000 км, часов в сутках 24, то есть примерно 20. Получаем величину порядка 2 тысяч километров на 1 час – на экваторе. А на широте Москвы… ну, раза в 2 меньше – тысячу километров. (И действительно, в Глазове, куда собирается ехать Маша из задачи 11, время на час опережает московское.)

1. Сколько весят все жители Земли?
2. Вспомните легенду об изобретателе шахмат, который попросил за своё открытие положить на первую клетку шахматной доски одно зёрнышко, на вторую два, на третью четыре, на четвёртую восемь, и так далее. Сколько вагонов понадобилось бы, чтобы перевезти всё зерно?

 зёрнышек. 1 зёрнышко весит, допустим, 0,1 г.

Объём вагона примерно  куб.м. Считая плотность зерна равной плотности воды, получим, что в вагон помещается порядка 100 т =  г зерна. зёрен, т.е. г. Значит, понадобится примерно  вагонов.

Для подобных прикидок не нужны ни справочник, ни калькулятор – их можно делать в уме, когда вы гуляете в лесу или едете в электричке. Вообще, такие величины, как количество жителей Земли, длина экватора, скорость света стоит помнить (хотя бы по порядку величины). Если же под рукой есть хороший справочник, то круг легко оцениваемых величин ещё сильно расширяется.

До 7 класса (когда появляется физика) математика – единственный в школе предмет, оперирующий количественными характеристиками. Важно в этом возрасте дать понимание о том, что все величины, кроме количества предметов, известны приближённо и проводить вычисления с ними надо по особым правилам. Мотивировать эти правила лучше всего примерами из практики.

В 8-11 классах открывается простор для вычислительного практикума: приближённые формулы, нахождение квадратных корней методом Герона, линеаризация, решения кубических уравнений методом Ньютона, разные способы интерполяции, задачи с неустойчивостью, в которых малые возмущения приводят к большим изменениям ответа (например, вырожденная система линейных уравнений или квадратное уравнение с одним корнем), разговоры о том, как вычисляет компьютер и т.д. О таком практикуме мы постараемся рассказать в следующий раз.

Благодарю за полезные обсуждения темы Э.Э. Шноля, Д.Э. Шноля, М.А. Ройтберга и А.В. Шевкина.

Литература

[1] А.Н. Крылов. Лекции о приближённых вычислениях. М.-Л. 1950.

[2] С.М. Никольский и др. Арифметика-5. М., 2005.

[3] С.М. Никольский и др. Арифметика-6. М., 2006.

[4] С.М. Никольский и др. Алгебра-7. М., 2003.

[5] С.М. Никольский и др. Алгебра-9. М., 2006.

 

Ответы и указания

3. а) 23 м, б) 22 м, в) 23 м.
4. а) 10 м, б) 9 м, б) 9 м.
5. 8000 = км, 8500 км; 8000 км, 8480 = км.
6. Вероятно, в прикидке бабушки сомнительна уже первая цифра, тогда получим (см).
7. 42 – 5 = 37 (кг).
8. Примерно 6 м/с.
9. 1600 км.
10. Масса метеоритов, падающих за год на Землю, пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли.
11. 31000 руб.

16, 17. В этих задачах прикидка получается грубая, т.к. в потере веса сомнительна уже первая цифра. Медведь будет весить порядка 200 кг, и медведица весила примерно столько.

20. Смотря что понимать под точностью. Если абсолютную погрешность – то права. Но ясно, что в другом смысле – неправа. Ведь она знает свою массу с двумя значащими цифрами, а массу Земли – с пятью. Когда важнее второй смысл, используют понятие относительной погрешности.
21. (кг).