Она начинается с имени все того же Леонарда Эйлера. Чтобы географическая карта читалась легко, лучше всего печатать отдельной краской каждую страну. Но этот способ слишком расточительный. Удовлетворимся тем, что будем печатать различными красками лишь страны, имеющие общую границу. Если две страны имеют только отдельные общие точки, их можно закрасить одинаковыми красками. Спрашивается, какое минимальное число красок необходимо для карты, напечатанной по таким правилам? Следует добавить, что карта покрывает всю плоскость. Иначе говоря, если страны занимают ограниченную область (остров), то вся внешняя часть рассматривается как «море», которое тоже необходимо закрасить.
Известно, что для простейших карт необходимо четыре краски. Что произойдет, если мы будем произвольно усложнять нашу географию? Уже около двухсот лет доказана теорема: «Пять красок заведомо достаточно для любой сколь угодно сложной карты на неевклидовой геометрии, своих работ не опубликовал. Между прочим, можно удивляться историкам науки. Вопрос о том, почему именно Гаусс молчал о своих результатах в неевклидовой геометрии, волнует всех без малого сто лет. Вероятно уже можно составить небольшую библиотеку из книг и диссертаций, посвященных исключительно этой теме. Но мне не доводилось встречать, по-моему, совершенно тривиального объяснения, приведенного чуть выше.
Непротиворечивость неевклидовой геометрии была доказана позже, а творцами ее справедливо считают Лобачевского и Бояи потому, что они — и только они — рискнули предложить новую теорию, не имея строгого доказательства.
Мораль. Как видно, часто к великим математическим открытиям приходят почти такими же путями, как и в физике. И все-таки требования к логической строгости и обоснованности теории в математике неизмеримо выше. Тем не менее и в математике, если следовать только букве, а не духу закона, можно пройти мимо важнейших результатов.
Почти об этом говорит красивый афоризм, который вспомнил в своей книге замечательный математик Литтлвуд: «Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, придуманных им».
Смысл: работы первооткрывателей очень часто неуклюжи и грубы.
Возможно все наши истории создают впечатление, что на высшем уровне особой разницы между математикой и теоретической физикой нет. В определенном смысле так оно и есть. Но на самом высшем уровне, пожалуй, нет особой разницы и между музыкой и математикой или, если угодно, между архитектурой и теоретической физикой. Позвольте покончить с рассуждениями. Перед нами
плоскости». Эта теорема довольно просто доказывается с помощью одной блестящей теоремы Эйлера. (Кстати, доказательство этой блестящей и исключительно важной теоремы тоже весьма элементарно.)
Итак, пять красок нам заведомо хватит. Но как только проблемой заинтересовались, обнаружили, что практически для любой карты на плоскости всегда достаточно четырех красок. Как рассказывают, впервые на эту задачу обратил внимание скромный английский бакалавр Френсис Газри в 1832 г. Почти через тридцать лет в 1878 г. замечательный английский математик Кэли обратил внимание Английского математического общества на задачу Газри. Доказать (или опровергнуть) утверждение: «чтобы раскрасить любую карту на плоскости (по правилам, сформулированным ранее), достаточно четырех красок». Просто? Казалось бы, да. Задача не решена до сих пор. Никто (а многие крупнейшие математики пытались подступиться к этой проблеме) не доказал и не опровергнул теорему о четырех красках, и, более того, не смог даже предложить опровергающий теорему пример.
Почти сразу после выступления Кэли в 1880 г. два крупных английских математика, казалось бы, нашли решение. Они опубликовали свое очень сложное доказательство, и десять лет весь математический мир был спокоен. Но в 1890 г. в доказательстве нашли ошибку, и с тех пор, хотя почти каждый год появляется новое доказательство этой таинственной теоремы, все они оказываются ошибочны.
Причем, математиков поражает главным образом то, что совершенно непонятно, почему теорема так трудна. Аналогичные теоремы сравнительно легко доказываются для, казалось бы, более хитрых поверхностей. Например, давно известно, что для раскраски карты на торе необходимо и достаточно семь красок. Для карты на такой экзотической поверхности, как лист Мебиуса, необходимо и достаточно шесть красок. А для плоскости (или для сферы — легко видеть, что для этой задачи плоскость эквивалентна сфере) решение неизвестно.
Более того, строго говоря, неизвестно даже—интересна ли сама задача. Может оказаться, что решение проблемы четырех красок приведет к открытию новых и важных математических методов, к развитию совершенно оригинальных глав топологии. А может оказаться, что мы просто натолкнулись на математический каприз, на очередную китайскую головоломку. Кстати, в математике имеются десятки комбинаторных головоломок, решение которых неизвестно. Но они не волнуют ученых. Несколько таких головоломок можно найти, например, в популярных книгах Гарднера, недавно переведенных у нас. А вот с проблемой четырех красок — совсем другое дело.
Мораль. Очевидно последним, решающим, а иногда, может быть, и единственным критерием для математиков оказывается красота задачи. Конечно, практического значения в узком прикладном смысле проблема четырех красок никакого не имеет. Но она существует как изящный вызов, вызов на дуэль человеческому интеллекту. И математики так же будут стремиться покорить эту задачу, как альпинисты несколько десятков лет стремились покорить вершину Джомолунгмы, хотя уже давно кто-то из альпинистов определил свой спорт как «бессмысленное перетаскивание тяжести на большие высоты».
Надо заметить, что у математиков давно существует поверье: «все красивое оказывается важным». Это можно подкрепить массой примеров. Правда, противоречащих примеров тоже можно найти достаточно.