Прием умножения на числа, кратные 101, т. е. на ( числа 101, 202, 303, 404 и т. п., близок к вышеописанным приемам умножения на числа, кратные 11 и 111. Умножение на 101 равносильно умножению на сумму (100+1). В данном случае множимое ставитсяна своем обычном месте и двумя разрядами выше. Для того чтобы умножить, например, 345 на 101, следует, отложив множимое на счетах, еще раз поставить его двум разрядами выше, после чего получим число 34 845 и искомый результат.

При изучении приемов умножения на двузначные числа, оканчивающиеся пятеркой, мы видели, что такие множители путем удваивания легко преобразуются в более простые и, стало быть, более удобные для вычислений. Это свойство остается в силе и в применении к трехзначным множителям, оканчивающимся цифрой 5.

При изучении приемов умножения на двузначные числа, оканчивающиеся пятеркой, мы видели, что такие множители путем удваивания легко преобразуются в более простые и, стало быть, более удобные для вычислений. Это свойство остается в силе и в применении к трехзначным множителям, оканчивающимся цифрой 5.

Такой трехзначный множитель, будучи удвоен, пре­вращается или в число, которое в качестве множителя ровносильнодвузначному (напр., 125 X 2 = 250 = 25X10), или в число, более удобное для умножения (напр., 555 X 2 = 1110 = 111 X 10). Но так как от удвоения множителя должно удвоиться и произведение, то для получения нужного результата следует при списывании его со счетов сбросить половину стоящего там числа, что, как мы знаем, не трудно (сбрасывать следует начиная обязательно снизу).

Пример 1. Умножить 1428 на 315.

Удвоив данный множитель, получим число630, которое разлагается в виде произведения (10 X 7 X 9). Чтобы умножить на него число 1428, откладываем его разрядом выше, т. е. ставим 14 280, что равносильно умноже­нию на первый множитель 10, и умножаем последовательнона 7 и на 9, получая соответственно 99 960 и 899 640.

Последнее произведение представляет собой удвоенный искомый результат. Для получения требуемого

результата сбрасываем половину стоящего на счетах числа после чего на счетах будет искомое произведение — 449 820.

Если множимое — число четное, как в данном случае, то, наряду с удвоением множителя, множимое следуетI уменьшить вдвое, тогда надобность в сбрасывании половины произведения отпадает. Замечая, что данное множимое 1428 есть число четное, откладываем его полавину — число 714 и после умножения его указанным способом на 630 получим тождественный результат число 449 820.

Упражнение 30. Найти произведения:

219 X 125 1155 X 665 15,05 X 1,35 334 X 275 2812 X 775 241,15 X 27,5 587 X 385 5413 X 385 3,184 X 0,815

Упражнение 31. Решить примеры из первых двух колонок предыдущего упражнения, принимая второй множитель за рубли и копейки.

В предыдущих параграфах мы описали ряд наиболее часто применяемых в практике способов умножения на трехзначные числа. Приемы умножения на трехзначные числа являются наиболее типичными из всех случаев умножения, поэтому подытожим изложенные правила в нижеследующей таблице:

Говоря о четырехзначном множителе, мы подразумеваем, что множимое содержит в себе также не менее четырех знаков, ибо в противном случае, если, например, при четырехзначном множителе множимое будет выражено трехзначным числом, то, взаимно поменяв местами оба сомножителя, мы сведем задачу к случаю умножения на трехзначный множитель.

Умножение на числа, оканчивающиеся тремя нулями, например, 2000, 5000, 7000 и т. п., есть простейший слу­чай умножения на четырехзначный множитель. Любое из таких чисел можно представить в виде произведения од­нозначного множителя на 1000. Поэтому, чтобы умно­жить на четырехзначный множитель, оканчивающийся тремя нулями, следует отложить множимое на счетах тремя разрядами выше и умножить на значащую цифру множителя. Если множитель оканчивается двумя нуля­ми, то множимое ставится на счетах двумя разрядами выше и умножается на двузначный множитель, образо­ванный двумя первыми (значащими) цифрами множи­теля. Аналогичный прием употребляется и при множи­теле, оканчивающемся одним нулем.

Если в данном четырехзначном множителе отделим справа запятой один знак, то получим смешанное число и виде трехзначного целого числа с десятичной дробью, выраженной одним десятичным знаком.

Умножая данное множимое на такой преобразован­ный множитель, мы упростим задачу, сведя ее к случаю умножения на трехзначное число.

Выше указывалось, что действие умножения в опре­деленных случаях может быть упрощено использованием округленных или просто удобных множителей, близких к данному. Этот метод в применении к четырехзначным множителям также может существенно облегчить вычис­ления.

Умножение на 1111 производится путем четырехкрат­ного откладывания множимого — по одному разу в ка­ждом из четырех последовательных разрядов.

Числами, кратными 1111, являются такие четырехзнач­ные числа, которые изображаются одинаковыми цифрами, например, 2222, 5555, 7777 и т. п. В каждом из них вто­рым множителем кроме 1111 будет однозначное число, выраженное одной из цифр данного четырехзначного чис­ла, например: 5555 = 1111 X 5; 8888 = 1111 X 8 и т. п.

Запомним правило:

Если четырехзначное число выражается двумя парами одинаковых цифр (например, 4455, 2288 и т. п.), то оно может быть разложено на два множителя, из коих один будет число 11, а другой — число, составленное крайни­ми цифрами данного множителя с нулем между ними. На­пример, число 4466 может быть представлено в виде про­изведения 11 X 406, число 7722 — в виде 11 X 702 и т. д.