В учебном пособии приведены методические рекомендации по
построению математических моделей и решению задач исследования операций,
рассмотрены примеры решения задач, предложены задачи для
самостоятельного решения.
Предлагаемое учебно-методическое пособие рекомендуется для
использования в курсе "Экономико-математические методы и модели" для
студентов экономических специальностей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ
1) ЛП – линейное программирование;
2) ЦФ – целевая функция;
3) ОДР – область допустимых решений;
4) РЗ – распределительная задача;
5) ТЗ – транспортная задача;
6) УЗ – управление запасами;
7) * – повышенная сложность вопроса или задачи.


СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 6
Часть I. ОДНОИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ 6
1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП 6
1.1. Теоретическое введение 6
1.2. Методические рекомендации 8
1.3. Варианты задач для самостоятельного решения 20
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ 28
2.1. Теоретическое введение 28
2.2. Методика решения задач ЛП графическим методом 31
2.3. Варианты задач ЛП для решения графическим методом 39
3. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП 41
3.1. Теоретическое введение 41
3.2. Методика графического анализа чувствительности оптимального
решения 43
3.3. Варианты задач для самостоятельного решения 54
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 57
Часть II. ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ 58
4. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 58
4.1. Теоретическое введение 58
4.2. Методические рекомендации 61
4.3. Варианты задач для самостоятельного решения 65
5. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПОРНЫХ ПЛАНОВ 70
5.1. Теоретическое введение 70
5.2. Методические рекомендации 72
5.3. Варианты задач для самостоятельного решения 75
6. ОБЩАЯ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ 76
6.1. Теоретическое введение 76
6.2. Методические рекомендации 80
6.3. Варианты задач для самостоятельного решения 84
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 85
Часть III. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 87
7. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ 87
7.1. Теоретическое введение 87
7.2. Методические рекомендации по построению сетевых моделей 88
7.3. Варианты задач для самостоятельного решения 93
8. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ 97
8.1. Теоретическое введение 97
8.2. Методические рекомендации 100
5
8.3. Варианты задач для самостоятельного решения 108
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 111
Часть IV. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 112
9. РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 112
9.1. Теоретическое введение 112
9.2. Методические рекомендации 115
9.3. Варианты задач для самостоятельного решения 122
10. МЕТОДЫ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО
СГЛАЖИВАНИЯ 124
10.1. Теоретическое введение 124
10.2. Методические рекомендации 127
10.3. Варианты задач для самостоятельного решения 129
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 130
Часть V. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ 132
11. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 132
11.1. Теоретическое введение 132
11.2. Методические рекомендации 137
11.3. Варианты задач для самостоятельного решения 139
12. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ СКИДКИ 142
12.1. Теоретическое введение 142
12.2. Методические рекомендации 143
12.3. Варианты задач для самостоятельного решения 151
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 152


ВВЕДЕНИЕ
В данном учебном пособии даны рекомендации по построению
математических моделей и решению задач исследования операций в области:
линейного программирования, сетевого планирования, регрессионного анализа,
прогнозирования временных рядов, управления запасами.
В целях более эффективного усвоения учебного материала каждая тема
содержит краткое теоретическое введение, подробные методические указания с
описанием решения конкретных задач, варианты задач для самостоятельного
решения, включая задачи повышенной сложности.
Особое внимание в учебном пособии было уделено вопросам построения
математических моделей как основополагающему и наиболее творческому
этапу решения задач. В связи с тем, что современное компьютерное
программное обеспечение позволяет значительно упростить процесс поиска
оптимальных решений, наиболее трудоемкие методы решения задач (симплекс-
метод, метод потенциалов, методы оптимизации сетевых моделей) в учебном
пособии рассмотрены не были.
Часть I. ОДНОИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП
1.1. Теоретическое введение
Математическое программирование ("планирование") – это раздел
математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных
значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы
математического программирования используются в экономических,
организационных, военных и др. системах для решения так называемых
распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в
случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения
7
каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим
образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным
критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше
всего изученным разделом математического программирования. Характерные
черты задач ЛП следующие:
1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную
функцию от элементов решения X = (x1,x2,...,xn );
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют
вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи ЛП
Целевая функция (ЦФ)
L(X)= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn →max (min),
при ограничениях
( ) 



  


≥ ≤
+ + + ≤ ≥ =
+ + + ≤ ≥ =
+ + + ≤ ≥ =
x , x ,...x 0 k n .
a x a x ... a x ( , )b ,
. ..
a x a x ... a x ( , )b ,
a x a x ... a x ( , )b ,
1 2 k
m1 1 m2 2 mn n m
21 1 22 2 2n n 2
11 1 12 2 1n n 1 (1.1)
При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует
проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и
аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в
ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть
прямо пропорционален величине этой переменной. Например, если, продавая
j-й товар в общем случае по цене 100 рублей, фирма будет делать скидку при
определенном уровне закупки до уровня цены 95 рублей, то будет
отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной
переменной x j . Т.е. в разных ситуациях одна единица j-го товара будет
приносить разный доход. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения
8
должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных.
Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта
одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой,
влияет на объем реализации другого.
Допустимое решение – это совокупность чисел (план) ( ) X x x xn
= 1, 2,..., ,
удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое
максимальное (минимальное) значение.
1.2. Методические рекомендации
Задача № 1.01
Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй –
для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента:
А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов
составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т
соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что
суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-
го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го
вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок
равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.
Необходимо построить математическую модель, позволяющую
установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы
доход от реализации продукции был максимальным.
Таблица 1.1
Параметры задачи о производстве красок
Ингредиенты Расход ингредиентов, т ингр./т краски Краска 1-го вида Краска 2-го вида Запас, т ингр./сутки
А 1 2 6
В 2 1 8
9
Решение
Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с
помощью математических символов, необходимо четко разобраться с
экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки
зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием
эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость,
время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра
(к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи
должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны
соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например,
количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе;
количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться;
количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно
приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи
математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как
правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например,
однотипные переменные удобно представлять в виде X = (x1,x2,...,xn ).
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой,
например, L(X). Математическая формула ЦФ L(X) отражает способ расчета
значений параметра – критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в
виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части
ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из
условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены
соответствующие условия.
10
В процессе записи математической модели необходимо указывать
единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
Построим модель задачи №1.01, используя описанную методику.
Переменные задачи
В задаче №1.01 требуется установить, сколько краски каждого вида надо
производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи
являются суточные объемы производства каждого вида красок:
x1 – суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];
x2 – суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
Целевая функция
В условии задачи №1.01 сформулирована цель – добиться максимального
дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит
параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы
рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов,
необходимо знать объемы производства красок, т.е. x1 и x2 т краски в сутки, а
также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию,
соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Таким образом, доход от продажи
суточного объема производства краски 1-го вида равен 3x1 тыс. руб. в сутки, а
от продажи краски 2-го вида – 2x2 тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в
виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении
независимости объемов сбыта каждой из красок)
L(X) = 3x1 + 2x2 → max [тыс. руб./сутки],



 ⋅ =
сутки
тыс.руб.
сутки
т краски
т краски
тыс.руб. .
Ограничения
Возможные объемы производства красок x1 и x2 ограничиваются
следующими условиями:
11
• количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на
производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих
ингредиентов на складе;
• согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем
производства краски 2-го вида может превышать объем производства краски 1-
го вида, но не более, чем на 1 т краски;
• объем производства краски 2-го вида не должен превышать 2 т в
сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;
• объемы производства красок не могут быть отрицательными.
Таким образом, все ограничения задачи №1.01 делятся на 3 группы,
обусловленные:
1) расходом ингредиентов;
2) рыночным спросом на краску;
3) неотрицательностью объемов производства.
Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую
содержательную форму записи
 

 
≤   


 

запас данного ингредиента
Максимально возможный
на производство обоих видов краски
Расход конкретного ингредиента
.
Запишем эти ограничения в математической форме.
Левая часть ограничения – это формула расчета суточного расхода
конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен
расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т
краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл.1.1). Тогда на производство x1 т краски
1-го вида и x2 т краски 2-го вида потребуется 1x1 + 2x2 т ингр. А.
Правая часть ограничения – это величина суточного запаса ингредиента
на складе, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл.1.1). Таким образом,
ограничение по расходу А имеет вид



≤  



+ ≤  ⋅
сутки
т ингр.А
сутки
т краски
т краски
1x 2x 6 т ингр.А 1 2 .
12
Аналогична математическая запись ограничения по расходу В



≤  



+ ≤  ⋅
сутки
т ингр.В
сутки
т краски
т краски
2x 1x 8 т ингр.В 1 2 .
Примечание 1.1. Следует всегда проверять размерность левой и правой
части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о
принципиальной ошибке при составлении ограничений.
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по
сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет
содержательную форму
 

 
≤   


 

сутки
1 т краски
над объемом производства краски 1- го вида
Превышение объема производства краски 2 - го вида
и математическую форму



≤  



− ≤ 
сутки
т краски
сутки
x x 1 т краски 2 1 .
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет
содержательную форму
( )  


  ≤

сутки
Спрос на краску 1- го вида 2 т краски
и математическую форму



≤  


 ≤

сутки
т краски
сутки
x 2 т краски 1 .
Неотрицательность объемов производства задается как
0
0,
2
1


x
x .
Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид
L(X)= 3x1 + 2x2 →max [руб. сутки]
13
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 



  


≥ ≥

− + ≤
+ ≤
+ ≤
x 0,x 0 т краски сутки .
x 2 т краски сутки ,
x x 1 т краски сутки ,
2x x 8 т ингр. B/сутки ,
x 2x 6 т ингр. A/сутки ,
1 2
2
1 2
1 2
1 2
Задача №1.02
Выполнить заказ по производству 32 изделий И1 и 4 изделий И2 взялись
бригады Б1 и Б2 . Производительность бригады Б1 по производству изделий
И1 и И2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени
этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б2 – соответственно 1 и 3
изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с
производством единицы изделия, для бригады Б1 равны соответственно 9 и
20 руб., для бригады Б2 – 15 и 30 руб.
Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти
оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты
на выполнение заказа.
Решение
Переменные задачи
Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий.
Изделия И1 будут выпускаться двумя бригадами Б1 и Б2 . Поэтому необходимо
различать количество изделий И1, произведенных бригадой Б1, и количество
изделий И1, произведенных бригадой Б2 . Аналогично, объемы выпуска
изделий И2 бригадой Б1 и бригадой Б2 также являются различными
величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства
восприятия будем использовать двухиндексную форму записи xij – количество
изделий Иj (j=1,2), изготавливаемых бригадой Бi (i=1,2), а именно,
14
x11 – количество изделий И1, изготавливаемых бригадой Б1, [шт.];
x12 – количество изделий И2, изготавливаемых бригадой Б1, [шт.];
x21 – количество изделий И1, изготавливаемых бригадой Б2 , [шт.];
x22 – количество изделий И2, изготавливаемых бригадой Б2 , [шт.].
Примечание 1.2. В данной задаче нет необходимости привязываться к
какому-либо временному интервалу (в задаче №1.01 была привязка к суткам),
поскольку здесь требуется найти не объем выпуска за определенное время, а
способ распределения известной плановой величины заказа между бригадами.
Целевая функция
Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными
затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат
на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой
расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия
И1 и И2 известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид
L(X )= 9x11 + 20x12 +15x21 + 30x22 →min ,



 ⋅шт. = руб.
шт.
руб. .
Ограничения
Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются
следующими условиями:
• общее количество изделий И1, выпущенное обеими бригадами,
должно равняться 32 шт., а общее количество изделий И2 – 4 шт.;
• время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для
бригады Б1 – 9,5 ч, а для бригады Б2 – 4 ч;
• объемы производства изделий не могут быть отрицательными
величинами.
15
Таким образом, все ограничения задачи №1.02 делятся на 3 группы,
обусловленные:
1) величиной заказа на производство изделий;
2) фондами времени, выделенными бригадам;
3) неотрицательностью объемов производства.
Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде
таблицы 1.2.
Таблица 1.2
Исходные данные задачи №1.02
Производительность бригад, шт/ч
Бригада
И1 И2 Фонд рабочего времени, ч
Б1 4 2 9,5
Б2 1 3 4
Заказ, шт 32 4
Ограничения по заказу изделий имеют следующую содержательную
форму записи
(32 шт.)
произведенных бригадами Б и Б
количество изделий И ,
1 2
1 =  


 

и
(4 шт.)
произведенных бригадами Б и Б
количество изделий И ,
1 2
2 =  


 

.
Математическая форма записи имеет вид
x11 + x21 = 32 [шт.]= [шт.] и
x12 + x22 = 4 [шт.]= [шт.].
Ограничение по фондам времени имеет содержательную форму
(9,5 ч)
выпуск изделий И и И
Общее время, затраченное бригадой Б
1 2
1 ≤  


 

на
и
16
(4 ч)
на выпуск изделий И и И
Общее время, затраченное бригадой Б
1 2
2 ≤  


 

.
Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано
время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия И1 или И2, т.е. не
задана трудоемкость производства. Но имеется информация о
производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий
в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными
величинами, т.е.



=  


= 
ч
1 шт.
шт.
ч
Пр
Тр 1 .
Поэтому используя табл.1.2, получаем следующую информацию:

4
1 ч тратит бригада Б1 на производство одного изделия И1;

2
1 ч тратит бригада Б1 на производство одного изделия И2;

1
1 ч тратит бригада Б2 на производство одного изделия И1;

3
1 ч тратит бригада Б2 на производство одного изделия И2.
Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде
шт [ч]
шт.
9,5 ч
2
x
4
x11 12 ≤ 


+ ≤  ⋅
и
шт [ч]
шт.
4 ч
3
x
1
x21 22 ≤ 


+ ≤  ⋅ .
Неотрицательность объемов производства задается как
xij ≥ 0 (i =1,2; j =1,2).
Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид
17
L(X )= 9x11 + 20x12 +15x21 + 30x22 →min [руб.] ,
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ] 





    


≥ = =
+ ≤
+ ≤
+ =
+ =
x 0 i 1,2; j 1,2 шт. .
4 ч ,
3
x
1
x
9,5 ч ,
2
x
4
x
x x 4 шт. ,
x x 32 шт. ,
ij
21 22
11 12
12 22
11 21
Задача №1.03*
Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На
швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В табл.1.3
приведены характеристики вариантов раскроя 10 м2 ткани и комплектность,
т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива
одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа
составляет 405 м2 . В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий.
Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший
месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.
Таблица 1.3
Характеристики вариантов раскроя отрезов ткани по 10 м2
Количество деталей, шт./отрез
Вариант раскроя 1 2 3 4 5 6
Отходы,
м2 /отрез
1 60 0 90 40 70 90 0,5
2 80 35 20 78 15 0 0,35
Комплектность,
шт./изделие 1 2 2 2 2 2
Решение
Переменные задачи
В данной задаче искомые величины явно не указаны, но сказано, что
должен быть выполнен ежемесячный план по пошиву 90 изделий. Для пошива
18
90 изделий в месяц требуется раскроить строго определенное количество
деталей. Крой производится из отрезов ткани по 10 м2 двумя различными
способами, которые позволяют получить различное число деталей. Поскольку
заранее неизвестно, сколько ткани будет раскраиваться первым способом и
сколько – вторым, то в качестве искомых величин можно задать количество
отрезов ткани по 10 м2 , раскроенных каждым из способов:
x1 – количество отрезов ткани по 10 м2 , раскроенных первым способом
в течение месяца, [отрез./мес.];
x2 – количество отрезов ткани по 10 м2 , раскроенных вторым способом
в течение месяца, [отрез./мес.].
Целевая функция
Целью решения задачи является выполнение плана при минимальном
количестве отходов. Поскольку количество изделий строго запланировано (90
шт./мес.), то этот параметр не описывает ЦФ, а относится к ограничению,
невыполнение которого означает, что задача не решена. А критерием
эффективности выполнения плана служит параметр "количество отходов",
который необходимо свести к минимуму. Поскольку при раскрое одного отреза
(10 м2 ) ткани по 1-му варианту получается 0,5 м2 отходов, а по 2-му
варианту – 0,35 м2 (см. табл. 1.3), то общее количество отходов при крое (ЦФ)
имеет вид
L(X )= 0,5x1 + 0,35x2 →min ,
 

   ⋅ =
мес.
м отх.
мес.
отрез.
отрез.
м2 отх. 2
.
Ограничения
Количество раскроев ткани различными способами ограничивается
следующими условиями:
• должен быть выполнен план по пошиву изделий, другими словами,
общее количество выкроенных деталей должно быть таким, чтобы из него
19
можно было пошить 90 изделий в месяц, а именно: деталей 1-го вида должно
быть как минимум 90 и деталей остальных видов – как минимум по 180 (см.
комплектность в табл.1.3).
• расход ткани не должен превышать месячного запаса его на складе;
• количество отрезов раскроенной ткани не может быть отрицательным.
Ограничения по плану пошива пальто имеют следующую
содержательную форму записи
(90 штук)
выкроенных по всем вариантам
Общее количество деталей №1,
≥  


 
 ;
(180 штук)
выкроенных по всем вариантам
Общее количество деталей №2,
≥  


 

;
...
(180 штук)
выкроенных по всем вариантам
Общее количество деталей №6,
≥  


 

.
Математически эти ограничения записываются в виде
60x1 + 80x2 ≥ 90 ;
35x2 ≥180 ;
90x1 + 20x2 ≥180 ;
40x1 + 78x2 ≥180 ;
70x1 +15x2 ≥180 ;
90x1 ≥180 ;



≥  



 ⋅
мес.
шт.
мес.
отрез.
отрез.
шт. .
Ограничение по расходу ткани имеет следующие формы записи:
содержательную
(405 м2 )
раскроенной за месяц
Общее количество ткани,
≤  


 

20
и математическую
10
x x 405 1 + 2 ≤ ,
 

 


≤ ⋅ 



2
2
мес. м
м отрез.
мес.
отрез. .
Неотрицательность количества раскроенных отрезов задается в виде
x 0.
x 0,
2
1


Таким образом, математическая модель задачи №1.03 имеет вид
L(X )= 0,5x1 + 0,35x2 →min [м2 отх./мес.],
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 





    


≥ ≥
+ ≤

+ ≥
+ ≥
+ ≥

+ ≥
x 0, x 0 отрез. мес. .
x x 40,5 отрез. мес. ,
90x 180 шт./мес. ,
70x 15x 180 шт./мес. ,
40x 78x 180 шт./мес. ,
90x 20x 180 шт./мес. ,
35x 180 шт./мес. ,
60x 80x 90 шт./мес. ,
1 2
1 2
1
1 2
1 2
1 2
2
1 2
Вопрос 1.1*. При составлении математической модели задачи на
следующий месяц следует учесть, что с прошлого месяца, возможно, остались
выкроенные, но неиспользованные детали. Как это сделать?
1.3. Варианты задач для самостоятельного решения
Задача №1.1
Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства
используются три технологические операции. На рис.1.1 показана
технологическая схема производства изделий
21
1 мин/изд.
2 мин/изд.
1 мин/изд.
3 мин/изд. 1 мин/изд.
4 мин/изд.
2 мин/изд.
Операция 1 Операция 2 Операция 3
Изделие 1
Изделие 2
Изделие 3
сырье
Рис.1.1. Технологическая схема производства
Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными
значениями: для первой операции – 430 мин; для второй операции – 460 мин;
для третьей операции – 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что
ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и
5 рублей соответственно.
Постройте математическую модель, позволяющую найти наиболее
выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?
Задача №1.2
При изготовлении изделий И1 и И2 используются сталь и цветные
металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам
на производство единицы изделия И1 требуется 300 и 200 станко-часов
соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг
соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия
И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.
Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и
фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных
металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 6 руб. и от
единицы изделия И2 – 16 руб.
22
Постройте математическую модель задачи, используя в качестве
показателя эффективности прибыль и учитывая, что время работы фрезерных
станков должно быть использовано полностью.
Задача №1.3
Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки
потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее
70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице
продуктов П1 и П2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед.
Стоимость 1 ед. продукта П1 – 2 руб., П2 –3 руб.
Постройте математическую модель задачи, позволяющую так
организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм
получил необходимое количество питательных веществ.
Задача №1.4
В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная
фабрика. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов
пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых
лесоматериалов. Для приготовления листов фанеры по 100 м2 требуется 5 м3
еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3
еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода
необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2
фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100 м2
фанеры – 600 руб.
Постройте математическую модель для нахождения плана производства,
максимизирующего доход.
23
Примечание 1.3. При построении модели следует учесть тот факт, что
пиломатериалы могут быть реализованы только в виде неделимого комплекта
размером 2,5 м3 , а фанера – в виде неделимых листов по 100 м2 .
Задача №1.5
С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда.
Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в табл.1.4.
Таблица 1.4
Исходные данные задачи №1.5
Характеристики Тип вагона
парка вагонов Багажный Почтовый Плацкартный Купейный Мягкий
Число вагонов
в поезде, шт.:
курьерском 1 – 5 6 3
скором 1 1 8 4 1
Вместимость
вагонов, чел. – – 58 40 32
Наличный парк
вагонов, шт. 12 8 81 70 27
Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно
найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы
число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.
Задача №1.6*
Управление городским автобусным парком решило провести
исследование возможности более рациональной организации своей работы с
целью снижения интенсивности внутригородского движения. Сбор и обработка
необходимой информации позволили сделать вывод, что необходимое
минимальное количество автобусов существенно меняется в течение суток
(рис.1.2). Длительность непрерывного использования автобусов на линии равна
8 ч в сутки (с учетом необходимых затрат времени на текущий ремонт и
обслуживание). График перекрывающихся смен представлен на рис.1.3.
24

Template Settings
Select color sample for all parameters
Red Green Blue Gray
Background Color
Text Color
Google Font
Body Font-size
Body Font-family
Scroll to top