Процентные вычисления — очень широко применяемый в практике вид вычислений. Мы здесь коснемся только тех задач на проценты, которые легко решаются на счетах.
Процентом данного числа называется его сотая доля. Процент изображается знаком %.
Чтобы найти 1 % какого-либо числа, достаточно разделить это число на 100 путем отделения запятой в нем двух знаков справа (если отыскивается 1 % от двузначного или однозначного числа, то к ним приписывается слева соответственно один или два нуля). Если данное число — десятичная дробь, то 1 % находится перенесением запятой на два знака влево. Например: 1 % от числа 3250 равен 32,5 » » » 325 » 3,25
» » » 3,25 » 0,0325 » » » 0,0325 » 0,000325
В некоторых вычислениях, где требуется точность большая, чем обычно, употребляется еще так называемый «промиль» (или «промилле»), представляющий собой одну тысячную долю числа. Для обозначения про- миля служит знак %0. 1%о равен 0,1%.
Рассмотрим три основных типа задач на проценты.
1. Нахождение процентов от данного числа
Пример 1. Найти 7% от числа 245.
Р е ш е н и е. Из определения процента следует, что 1 % данного числа равен 245:100 или 2,45. Если 1% данного числа равен 2,45, то 7% того же числа составят :\45Х7 или 17,15.
Правило. Чтобы найти п процентов от данного числа, надо разделить это число на 100 и результат умножить на п.
Посмотрим, как решаются на счетах задачи первого типа.
Задача. Стоимость товара по счету поставщика равна 4528 руб.; расходы по перевозке товара составили 7% к основной его стоимости. Найти полную стоимость товара.
Решение. Определим сперва сумму транспортных расходов, т. е. найдем 7% от 4528 руб.
Поступая согласно правилу, откладываем на счетах число 4528, деленное на 100, т. е. 45 руб. 28 коп. Это будет 1% искомого числа. Умножив его на 7, найдем сумму транспортных расходов. Она равна 316 руб. 96 коп. Прибавив к этому числу стоимость товара по счету поставщика, получим полную стоимость товара, т. е. 4844 руб. 96 коп.
2. Нахождение числа по его процентам
Решение. Рассуждаем так: если 15% неизвестного числа составляют 45, то 1 % его будет равен 45 : 15 или 3.
Если известна одна сотая доля какого-либо числа, то легко найти и целое. Умножив 3 на 100, получим искомое число, — оно равно 300. v
Правило. Чтобы найти число, п процентов которого известны, достаточно число, выражающее п процентов, разделить на п и результат умножить на 100.
Решим на счетах задачу второго типа.
Задача. Продукция завода, выполнившего годовой план на 110%, оценивается в 1676,4 тыс. руб. Определить сумму годового плана для завода.
Решение. По условию задачи 1676,4 тыс. руб. составляют 110% плана. Для нахождения суммы годового плана согласно правилу следует разделить 1676,4 на 110 и полученное частное умножить на 100. Отложив на счетах 1676,4 и произведя деление на 110, получим в частном 15,24. Умножив затем это число на 100, найдем ответ — 1524 тыс. руб.
При решении этой и подобных ей задач можно изменить последовательность действий, а именно: сперва умножить на 100 число, выражающее п процентов искомого числа, т. е. отложить его на счетах двумя разрядами выше, а затем разделить на п. Такой порядок действий иногда бывает удобнее.
3. Нахождение процентных отношений между двумя числами
Пример 3. Даны числа 320 и 352. Узнать, сколько процентов первого из них составляет второе.
Решение. Если второе число должно быть выражено в процентах к первому, то очевидно, что величина первого числа принимается за 100%. В таком случае 1% его равен 320 : 100 или 3,2. Чтобы узнать теперь, сколько процентов первого числа заключается «во втором числе, достаточно последнее разделить на 3,2 (или разде-лить второе число на первое и результат умножить на 100). Произведя деление, получим 110%.
Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, следует одно из них разделить на другое (величина которого принимается за 100%) и результат умножить на 100.
Разумеется, в этом случае надо точно знать, какое из двух чисел принимается за 100%.
Покажем, как решаются на счетах задачи третьего типа.
Задача, Два рабочих, работая на токарных станках, изготовили: первый — 320 деталей, второй — 335. Определить выработку второго рабочего в процентах, принимая количество деталей, изготовленных первым рабочим, за 100%. t
Решены е. Применяя указанное правило, откладываем на счетах число, показывающее выработку второго рабочего, т. е. 335, и делим его на число, принятое за 100%, т. е. на 320. Частное (1,05) умножаем на 100, после чего получим искомый ответ — 105%.
При решении задач третьего типа возможно изменение последовательности действий, как и_ при решении задач второго типа.
При решении на счетах задач на проценты вопрос в сущности сводится лишь к выполнению одного действия — умножения или деления, побочные же действия производятся путем переноса запятой на два знака в ту или другую сторону.
При процентных вычислениях, относящихся к денежным расчетам, целесообразно пользоваться алгебраическим способом решения. Этот способ позволяет решать задачи при помощи всего лишь одной основной формулы, выражающей соотношения между числовыми данными, входящими в условие каждой из задач основ-ного типа.
Поясним суть этого способа примерами.
Пусть требуется узнать, какую сумму процентных денег выплатит сберкасса по истечении года со вклада в 1575 руб. из расчета 3% годовых. Иначе говоря, надо найти 3% от числа 1575.
Представим сперва решение этой задачи в общем виде. Для этого обозначим самые проценты (или так называемые «процентные деньги») буквой а, данное число (от которого требуется найти 3%) — буквой N, число процентов (или так называемую «процентную таксу») — буквой р.
Тогда, пользуясь приведенным выше правилом для решения задач первого типа, можем составить такое равенство (формулу):
NXP
а-100
Подставляя в это равенство на место N и р их числовые значения из условия задачи, получим:
а = 1575Х_3 =47 б> 25 ксп^ 100
Полученную нами формулу будем считать основной, так как из нее при помощи несложных преобразований легко найти формулы для решения и других задач на проценты.
Решим, например, такую задачу:
С какой суммы, внесенной в сберкассу, получилось по истечении года 47 руб. 25 коп. процентных денег, если сберкасса выплачивает 3% годовых?
В данной задаче известны процентная такса (р) и процентные деньги (а), ,а требуется найти число (Л', с которого при данной процентной таксе получается '4| процентных денег. Формулу для определения числа легко получить из основной формулы (для этого надо
обе части основной формулы умножить на 100 и разделить на р, а затем сократить полученные дроби). Она будет иметь такой вид:
а X ЮО
TV-
После подстановки числовых значений получим:
х, 47,25X 100 1С„ ^ N = —-—— = 1575 руб.
При помощи основной формулы так же просто определяется и процентная такса.
Решим такую задачу:
С вклада в 1575 руб., внесенного в сберкассу, получено через год 47 руб. 25 коп. процентных денег. Найти процентную таксу.
Умножая обе части основной формулы на 100 и деля на N, получим (после сокращения) такую формулу:
а X ЮО N
Подставляя числовые значения а и N, найдем: 47,25X100 0
Р = - 1575
Время, за которое начислялись процентные деньги, в приведенных задачах принималось равным единице, т. е. одному году. Если необходимо вычислить процентные деньги за какой-либо иной период, то в основную формулу следует ввести еще обозначение времени, выраженное в юдах (обычно буква t). При этом формула принимает !акой вид:
NXpXt 100
Пусть, например, требуется узнать, сколько процентных денег дадут 3500 руб. при 4% годовых за 9 месяцев.
Подставив в указанную формулу числовые значения N, р и t (t = 9 мес., или 0,75 года), получим:
3500X4X0,75 1ЛС ' а = —-=105 руб.
100
Из формулы а = ^t легко найти формулы для вычисления N> р и t:
д г «Х100( а X ЮР , а X 100
1V — . I) — , I •
pXt NXt NXp
Мы рассмотрели основные типы задач на проценты, легко решаемые на счетах. Процентные вычисления в финансовых учреждениях (банках, сберкассах и др.) имеют свои специфические особенности. Для процентных расчетов здесь применяются специальные таблицы, позволяющие быстро и безошибочно находить нужные числа; на этих вычислениях мы останавливаться не будем.
Упражнение 47.
а) Найти 8% от 1?5 4,5% от 275 р. 50 к.
» 21% » 168 0,6% „ 450 „ — » 12,1% » 45,8 0,012% „ 38880 „ -
б) Найти число, 0,25% которою равны 31 р. 25 к.
» » 1,33% » » 18 » 62 »
в) На сколько процентов число 34 больше числа 27,2?
* „ „ 5,44 меньше „ 6,8?
г) Стоимость товара с наценкой в 7,5% составляет 13 710 р. 55 коп. Найти стоимость товара без наценки.
д) С какой суммы, внесенной в сберкассу, через полгода получится 258 р. 15 коп. процентных денег, если сберкасса выплачивает 3% годовых?