При описании приемов умножения на двузначные числа, в состав которых входит множителем число 11, было обращено внимание на особое свойство этого множителя, позволяющее производить вычисления с ним проще и быстрее, чем с другими числами. Покажем, как в пользуется это свойство множителя 11 при в ычие ле­ти х с трехзначными множителями.

Узнать, входит ли 11 множителем в состав данного числa, можно при, помощи признаков делимости: если данноечисло делится на 11, то последнее является одним из сомножителей, на (которые разлагается данное число. Поэтому сперва напомним читателю признаки де­лимости на 11, относящиеся к трехзначным числам. Трехзначное число делится на 11:

1) Если сумма крайних его цифр равна числу, выраженному средней цифрой, например, числа 275, 374, 583 и т.д. В этом случае трехзначное числом разлагается на два множителя, одним из которых является число 11, а другим — число, составленное крайними цифрами. На­пример, в числе 583 сумма крайних цифр 5 + 3 равна числу,выраженному средней цифрой, т. е. 8, поэтому можемутверждать, что 583 = 11 X 53.

2) Если сумма крайних цифр равна 11, а средняя цифра - нулю, например, числа 209, 308, 803 и др. Такиечисла разлагаются на два множителя, из коих одинпопрежнему есть число 11, а другой — двузначное число, первая цифра которого равна крайней левой цифре, уменьшинной на единицу, а вторая — крайней правой цифре.

Например, 308 = 11 X 28; 605= 11 X 55 и т. д.

3) Если сумма крайних цифр больше 11 на число, выраженное средней цифройнапример, числа 319, 528, 847 и т. д.; если взять, скажем, число 528, то в нем сумма крайних цифр, 5 + 8= 13, превышает 11 на 2 (сред­няя цифра). Эти числа разлагаются так же, как и по второму признаку делимости, например: 319=11X29; 616= 11 X 56 и т. д.

Из указанных признаков делимости на практике для нашей цели легче всего использовать первый и второй] как выраженные более отчетливо и поэтому сразу бро­сающиеся в глаза. Однако не лишним будет запомнит! и третий признак делимост.

Перейдем теперь к приемам умножения на трехзначные множители, кратные 11.

Как мы знаем, умножение любого числа на 11 производится чрезвычайно просто и сводится лишь к двукратному откладыванию множимого на счетах, при­чем второй раз — разрядом выше. Поэтому при умноже­нии на трехзначный множитель, кратный 11, задача упро­щается: следует лишь умножить данное множимое на двузначный множитель, входящий в состав заданного: и полученное произведение отложить вторично разрядом выше.

Пример 1. Умножить 1575 на 275.

Пользуясь признаками делимости, устанавливаем по внешнему виду данного множителя, что он, во-первых, является числом, кратным 11 (так как сумма крайних цифр 2 + 5 равна числу, выраженному средней циф­рой 7) и, во-вторых, что в состав этого числа вторым множителем входит число 25.

Таким образом, мы нашли, что множитель 275 рав­няется произведению 25 X 11.

Умножение производим следующим образом:

1-й прием. Откладываем на счетах множимое 1575 и, замечая, что 25 = 5 X 5, умножаем на 5. Получаем 7875.

2-й  прием. Умножаем 7875 на вторую пятерку, получаем 39 375.

3-й   прием. Остается умножить число 39 375 на 11. (ли этого откладываем его еще раз разрядом выше, после чего получаем на счетах окончательный результат — 433 125.

Пример 2. Умножить 812 на 704.

На основании второго признака делимости опредля­ем, что множитель 704 равняется произведению 64Х 11.

Умножая число 812 на 64 (т. е. на 8x8), получаем Ч 968. Не сбрасывая это число, откладываем его еще. мл, но разрядом выше и получаем окончательно 571 648.

Пример 3. Умножить 3515 на 429.

Пользуясь третьим признаком делимости на 11 (первые два, как это сразу видно, к нему не подходят), устанавливаем, что число 429 разлагается в виде произведения 39 X 11. Затем умножаем данное множимое на 39 (что равносильно умножению на разность 40—1) и получаем на счетах 137 085. Отложив это число еще разрядом выше, получим конечный результат в виде 1 507 935.

Упражнение 25. Найти произведения:

125 X 176 345 X 308 1455 X 418 218 X 187 1573 X 605 3578 X 627 1434 X 297 2728 X 704 5213 X 726

Упражнение 26. Проделать предыдущее упражнение, принимая везде второй множитель за рубли и копейки (напр., вместо 176 считать 1 руб. 76 коп.).