При описании приемов умножения на двузначные числа, в состав которых входит множителем число 11, было обращено внимание на особое свойство этого множителя, позволяющее производить вычисления с ним проще и быстрее, чем с другими числами. Покажем, как в пользуется это свойство множителя 11 при в ычие лети х с трехзначными множителями.
Узнать, входит ли 11 множителем в состав данного числa, можно при, помощи признаков делимости: если данноечисло делится на 11, то последнее является одним из сомножителей, на (которые разлагается данное число. Поэтому сперва напомним читателю признаки делимости на 11, относящиеся к трехзначным числам. Трехзначное число делится на 11:
1) Если сумма крайних его цифр равна числу, выраженному средней цифрой, например, числа 275, 374, 583 и т.д. В этом случае трехзначное числом разлагается на два множителя, одним из которых является число 11, а другим — число, составленное крайними цифрами. Например, в числе 583 сумма крайних цифр 5 + 3 равна числу,выраженному средней цифрой, т. е. 8, поэтому можемутверждать, что 583 = 11 X 53.
2) Если сумма крайних цифр равна 11, а средняя цифра - нулю, например, числа 209, 308, 803 и др. Такиечисла разлагаются на два множителя, из коих одинпопрежнему есть число 11, а другой — двузначное число, первая цифра которого равна крайней левой цифре, уменьшинной на единицу, а вторая — крайней правой цифре.
Например, 308 = 11 X 28; 605= 11 X 55 и т. д.
3) Если сумма крайних цифр больше 11 на число, выраженное средней цифройнапример, числа 319, 528, 847 и т. д.; если взять, скажем, число 528, то в нем сумма крайних цифр, 5 + 8= 13, превышает 11 на 2 (средняя цифра). Эти числа разлагаются так же, как и по второму признаку делимости, например: 319=11X29; 616= 11 X 56 и т. д.
Из указанных признаков делимости на практике для нашей цели легче всего использовать первый и второй] как выраженные более отчетливо и поэтому сразу бросающиеся в глаза. Однако не лишним будет запомнит! и третий признак делимост.
Перейдем теперь к приемам умножения на трехзначные множители, кратные 11.
Как мы знаем, умножение любого числа на 11 производится чрезвычайно просто и сводится лишь к двукратному откладыванию множимого на счетах, причем второй раз — разрядом выше. Поэтому при умножении на трехзначный множитель, кратный 11, задача упрощается: следует лишь умножить данное множимое на двузначный множитель, входящий в состав заданного: и полученное произведение отложить вторично разрядом выше.
Пример 1. Умножить 1575 на 275.
Пользуясь признаками делимости, устанавливаем по внешнему виду данного множителя, что он, во-первых, является числом, кратным 11 (так как сумма крайних цифр 2 + 5 равна числу, выраженному средней цифрой 7) и, во-вторых, что в состав этого числа вторым множителем входит число 25.
Таким образом, мы нашли, что множитель 275 равняется произведению 25 X 11.
Умножение производим следующим образом:
1-й прием. Откладываем на счетах множимое 1575 и, замечая, что 25 = 5 X 5, умножаем на 5. Получаем 7875.
2-й прием. Умножаем 7875 на вторую пятерку, получаем 39 375.
3-й прием. Остается умножить число 39 375 на 11. (ли этого откладываем его еще раз разрядом выше, после чего получаем на счетах окончательный результат — 433 125.
Пример 2. Умножить 812 на 704.
На основании второго признака делимости опредляем, что множитель 704 равняется произведению 64Х 11.
Умножая число 812 на 64 (т. е. на 8x8), получаем Ч 968. Не сбрасывая это число, откладываем его еще. мл, но разрядом выше и получаем окончательно 571 648.
Пример 3. Умножить 3515 на 429.
Пользуясь третьим признаком делимости на 11 (первые два, как это сразу видно, к нему не подходят), устанавливаем, что число 429 разлагается в виде произведения 39 X 11. Затем умножаем данное множимое на 39 (что равносильно умножению на разность 40—1) и получаем на счетах 137 085. Отложив это число еще разрядом выше, получим конечный результат в виде 1 507 935.
Упражнение 25. Найти произведения:
125 X 176 345 X 308 1455 X 418 218 X 187 1573 X 605 3578 X 627 1434 X 297 2728 X 704 5213 X 726
Упражнение 26. Проделать предыдущее упражнение, принимая везде второй множитель за рубли и копейки (напр., вместо 176 считать 1 руб. 76 коп.).