Математика Учебно-методическое пособие для преподавателей ч.6

Алгоритм исследования функций

с помощью производной.

Найти область определения функций.
Определить четность функции.
Определить точки пересечения с осью OX.
Определить точки пересечения с осью OY.
Найти производную функции.
Найти критические точки x₁, x₂,x₃…
Отметить критические точки на числовой прямой.
Определить знак производной на каждом получаемом интервале.
Составить таблицу:

X	(-∞;x₁)	X₁	(x₁;x₂)	X₂	(x₂;x₃)	X₃	(x3;+∞)
f(x)		0		0		0
f(x)

В первой строчке указаны в порядке возрастания критические точки и ограниченные ими промежутки.

Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках.

В третьей строке стрелочкой отмечается убывание или возрастание функции.

В четвертой строке отмечается, будет ли критическая точка точкой max.min или перегиба.

В случае необходимости берем дополнительные точки
Строим график.

Алгоритм доказательства теоремы

Исследование формулировки теоремы

1.1 выделить элементы;

1.2 определить элементы, находящиеся в связях между собой;

1.3 установить виды отношений между ними

1.4 выделить элементы, не включенные в отношения;

1.5 определить между ними возможные виды норм отношений

Спроектировать чертеж видов отношений
Доказать нормы отношений между элементами, не связанными между собой по условиям теоремы.

Прямое доказательство:

3.1 исследовать по чертежу элементы, нормы отношений;

3.2 определить новые связи;

3.3 подобрать аксиомы предыдущих теорем для доказательства.

3.4 обосновать возможные отношения;

3.5 сформулировать выводы о видах, нормах отношений.

Доказательство от обратного:

3.1 исследовать по чертежу элементы норм отношений:

3.2 выдвинуть гипотезы о невозможности заявленных видов и норм отношений:

3.3 исследовать возможности других видов норм отношений;

3.4.1 сравнить гипотезы с условием теоремы;

3.4.2 выявить противоречия;

3.4.3. доказать невозможность гипотетических отношений. Найти аргументы;

3.4.4. сформулировать выводы о видах, нормах отношений.

Алгоритм написания уравнения касательной

Вычислить f (x₀)
Вычислить f (x)
Вычислить f (x₀)
Подставить в уравнение касательной y=f (x₀) + f (x₀)*(x-x₀) найденные значения f (x₀) f (x₀) и x₀

Алгоритм решения системы уравнений

Исследование образа системы

1.1 выделить элементы;

1.2 определить элементы, находящиеся в связях между собой:

1.3 установить: виды и нормы отношений между ними

Проектирование тождественных преобразований для решения системы

2.1 привести каждое уравнение к общему знаменателю:

2.2 открыть скобки;

2.3 привести подобные;

2.4 привести систему уравнений к уравнению с одним известным;

2.5 решить уравнение по алгоритму решения уравнения (найти неизвестное)

Произвести эти преобразования.
Если необходимо сделать проверку
Записать ответ.

Алгоритм решения системы неравенств

Исследование

1.1 выделить элементы;

1.2 определить элементы, находящиеся в связи между собой;

1.3 установить виды и нормы отношений между ними.

2.1 Применить алгоритм решения каждого неравенства, входящего в систему

2.2 Изобразить решение каждого неравенства на числовой прямой

2.3 Найти множество решений, которые являются решениями каждого неравенства системы

Произвести действия
Записать ответ.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Найти область определения функции.
Вычислить производную функции
Найти критические точки
Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, входящих в отрезок.
Среди полученных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее

Алгоритм решения уравнения

Исследовать образ

1.1 Выделить элементы

1.2 Установить виды и нормы отношений между ними

Привести к стандартному виду

2.1. Привести к общему знаменателю

2.2 Открыть скобки

2.3 Привести подобные члены

2.4 Применить алгоритм решения стандартного уравнения

Или:

2.1 Разложить на множители

2.2 Приравнять каждый множитель к 0

2.3 Привести каждый множитель к стандартному виду

2.4 Применить алгоритм решения стандартного уравнения

Или:

2.1 Ввести новую переменную

2.2 Привести к стандартному виду

2.3 Применить алгоритм решения стандартного уравнения

2.4 Найти новую переменную

2.5 Найти неизвестное данного уравнения.

Если нужно, сделать проверку
Записать ответ

Алгоритм решения неравенств

Исследование образа неравенства.

1.1 Выделить элементы:

1.2 Определить элементы, находящиеся в связи между собой

1.3 Установить виды и нормы отношений между ними

Проектирование тождественных преобразований данного неравенства к стандартному.

2.1 Привести к общему знаменателю;

2.2 Открыть скобки;

2.3 Привести подобные члены

2.4 Привести к стандартному виду неравенства

2.5 Применить алгоритм решения стандартного неравенства

Произвести эти преобразования
Если нужно, изобразить множество решений неравенства на числовой прямой

5.Записать ответ.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Исследовать к какому типу относится уравнение.
Если уравнение квадратное относительно одной тригонометрической функции, то обозначают ее через t, подставляют в уравнение и решают по дискриминанту. Определив значение тригонометрической функции, решают по формулам решения простейших тригонометрических уравнений.
Если в квадратном уравнении есть разные функции, то нужно заменить, чтобы была одна функция и решать как во втором случае.
Однородные уравнения первой степени решаются делением всех членов уравнения на cos x.
Однородные уравнения второй степени решаются делением всех членов уравнения на cos x . Полученное квадратное уравнение относительно tg x решается как во втором случае.
Если уравнение имеет аргументы x и 2 x, нужно воспользоваться формулами двойного угла.
Если произведение функций равно 0, то каждый сомножитель, зависящий от x приравнивается к 0.

Алгоритм решения задач

Исследовать условие задачи.
Выделить элементы
Определить связи между элементами
Выявить элементы, не включенные в отношения
Определить нормы отношений между ними
Создание чертежа (перевести русский текст на геометрический)
Доказать виды норм отношений между элементами, не связанных между собой по условию задачи.
Алгоритм прямого доказательства
Алгоритм метода от противного.

Алгоритм построения графиков

Исследовать задания
Составление таблицы значений координат точек графика
Построить точки в системе координат

5 СИСТЕМА СРЕДСТВ КОНТРОЛЯ

Ситуация 16

Тест «Тригонометрические функции »

Вариант 1

Часть 1

Сравните и

1) = 2) > 3) <

Эталон 3 Р-3

Закончите предложение так, чтобы получилось « Функция …»

1) не является чётной

2) является чётной

3) не является ни чётной, ни нечётной

Эталон 1 Р-3

Зная, что и , найдите

1) 2) 3)

Эталон 1 Р-3

Решите уравнение sin 2x = - 1

1) 2) 3)

Эталон 3 Р-3

Часть 2

Решите уравнения

1) 2) 3)

Эталон 2 Р-3

Существует ли такой угол , для которого ?

1) да 2) нет

Эталон 2 Р-2

Упростите выражение

1) 2) 3)

Эталон 3 Р-3

Решите уравнение

1) 2) 3)

Эталон 1 Р-3

Тест «Тригонометрические функции »

Вариант 2

Часть 1

Сравните и

1) = 2) < 3) >

Эталон 3 Р-3

Закончите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: «Функция …»

1) не является ни чётной, ни нечётной

2) является чётной

3) является нечётной

Эталон 2 Р-3

Зная, что и , найдите

1) 2) 3)

Эталон 1 Р-3

Решите уравнение cos 2x = 1

1) 2) 3)

Эталон 2 Р-3

Часть 2

Решите уравнение

Эталон 3 Р-3

Существует ли угол , для которого

1) да 2) нет

Эталон 2 Р-2

Упростите выражение

1) cos2 2) sin2 3) -sin2

Эталон 2 Р-3

Решите уравнение

1) 2) 3)

Эталон 3

Ситуация 22

Тест «Тригонометрические функции. Решения тригонометрических уравнений».

Вариант 1.

Найдите значения выражения

а) 2,5

б) 1,25

в) 1,75

г) 1,5

Эталон в Р-4

Упростите выражение

а)

б)

в)

г)

Эталон г Р-4

Дано: и Найдите

а)

б)

в)

г)

Эталон а Р-4

Упростите выражение

а)

б)

в)

г)

Эталон б Р-4

Что можно сказать о функции

а) четная	в) ни четная, ни нечетная
б) нечетная	г) периодическая.

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон а Р-4

Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень на промежутке

а)

б)

в)

г)

Эталон в Р-4

Тест «Тригонометрические функции. Решения тригонометрических уравнений».

Вариант 2.

Найдите значения выражения

а)

б)

в)

г) 4,5

Эталон в Р-4

Упростите выражение

а)

б)

в)

г)

Эталон б Р-4

Дано: и Найдите

а)

б)

в)

г)

Эталон б Р-4

Упростите выражение

а) -tga

б) tga

в) ctga

г) -ctga

Эталон а Р-4

Что можно сказать о функции

а)четная	в) ни четная, ни нечетная
б)нечетная	г) периодическая.

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон в Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон б Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон г Р-4

Решите уравнение

а)	в)
б)	г)

Эталон г Р-4

Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень на промежутке

а)

б)

в)

г)

Эталон а Р-4

Ситуация 35

Тест «Производная и ее применение».

Вариант 1.

Найдите производную функции и вычислите ее значение при x=-1

а)-2.5 б)1.5 в)-1.5 г) 2,5

Эталон в Р-4

Найдите y'(x), если

а) б) в) г)

Эталон г Р-4

Найдите производную функции

а) б) в) г)

Эталон а Р-4

Найдите значение y'(0.5), если

а) 3 б) 4/3 в) г) 2

Эталон б Р-4

Для функции вычислите

а) 6 б)-3 в)-1.5 г)0.5

Эталон б Р-4

. Найдите

а)15 б)7.5 в)2.75 г)0.5

Эталон г Р-4

. Решите уравнение .

а) 0;2 б) в) -; г)-2;2

Эталон в Р-4

. Решите неравенство .

а) б) в) г)

Эталон б Р-4

; ; Решите уравнение .

а)12 б)8.5 в)2.5 г)6

Эталон г Р-4

Точка движется по координатной прямой по закону. Найдите .

а)-5 б)14 в)19 г)4

Эталон г Р-4

Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

а) у=-2х-3 б)у=2х-1 в)у=-2х+3 г)у=2х+3

Эталон в Р-4

Найдите точки экстремума функции

а)x_max=3; x_min=0. б) x_max=0; x_min=3. в) x_min=3. г)Ø

Эталон б Р-4

13.Найдите промежутки убывания функции

а) б) в) г) Ø

Эталон в Р-4

Найдите наибольшее значение функции на

а)1/9 б)1 в)-1 г)

Эталон в Р-4

Тест «Производная и ее применение».

Вариант 2.

Найти производную функции и вычислите ее значение при x= -2.

а)-3 б)-5 в)2 г)3

Эталон а Р-4

Найдите y'(x), если

а) б) в) г)

Эталон в Р-4

Найдите производную функции

а) б) в) г)

Эталон б Р-4

Найдите значение y'(-0.5), если

а)-0.5 б)4 в)-2 г)0.5

Эталон в Р-4

Для функции вычислите

а)5 б)-5 в)-10 г)10

Эталон б Р-4

Дана функция . Найдите

а)-7.5 б)-25.5 в)15.5 г)-0.5

Эталон б Р-4

. Решите уравнение .

а) б) ;3 в) 0; г)- ;

Эталон г Р-4

. Решите неравенство .

а) б) в)Ø г)

Эталон а Р-4

; ; Решите уравнение .

а)16 б)0.25 в)4 г)25

Эталон г Р-4

Точка движется по координатной прямой по закону . Найдите .

а)9 б)25 в)1 г)-25

Эталон в Р-4

Найти уравнение касательной к графику функции в точке

а)у=2х-6 б)у=10х+12 в)у=4х+8 г)у=-10х+8

Эталон б Р-4

Найдите точки экстремума функции

а)x_max=-1.5; x_min=0. б) x_max=0; x_min=-1.5. в) x_min=-1.5. г) x_max=1.5

Эталон в Р-4

13.Найдите промежутки возрастания функции

а) б) в) г)

Эталон б Р-4

Найдите наибольшее значение функции на

а)26 б)19 в)30 г)

Эталон а Р-4

Тест « Производная и её применение »

Вариант 3

Часть 1

Найдите производную функции f(x) = 21x³– 15x²

1) 21x³– 15x² 2) 21x²– 15x 3) 63x³- 30 x² 4) 63x²- 30 x

Эталон 4 Р-4

2) Для какой из функций производная задаётся формулой y^`= 9x² + sin x?

1) 3x³– cos x 2) 3x³+ cos x 3) 9x – cos x 4) x³+ sin x

Эталон 1 Р-4

Чему равно значение производной функции y = x³– 3x в точке x₀ = - 1?

1) 1 2) 0 3) 6 4) – 1

Эталон 2 Р-4

Определите промежуток возрастания функции y = f(x), если данные о её производной указаны в таблице:

x	(-∞; -9)	- 9	(-9; -1)	- 1	(-1; 3)	3	(3; + ∞)
y^`	+	0	-	0	+	0	-

1) ( - ∞ ; 3 ) 2) ( - 9 ; - 1 ) 3) ( - ∞ ; - 9 ) ( - 1 ; 3 ) 4) ( 3 ; + ∞ )

Эталон 3 Р-4

Найдите точки минимума функции g(x) = 4x -

1) 3 2) 1 3) – 4 4) – 2

Эталон 4 Р-4

Часть 2

Найдите производную функции g(x) =

1) sinx 2) –sinx 3) cosx 4) 2sinx

Эталон 2 Р-4

Найдите наибольшее значение функции y = на отрезке [- 1; 3].

1) 4 2) -4,5 3) 4,5 4) 5

Эталон 3 Р-4

Найдите скорость изменения функции y = x³+ 2x в точке с абсциссой x₀ = 1.

1) 5 2) 4 3) 1 4) 3

Эталон 1 Р-4

Тест « Производная и её применение »

Вариант 4 Часть 1

Найдите производную функции f(x) = 15x⁵ – 13 x

1) 75x⁵ – 13 2) 15x⁶ – 13x² 3) 75x⁴– 13 4) 75x⁵ – 13x

Эталон 3 Р-4

Для какой из функций производная задаётся формулой y^`= cos x – 20x³?

1) cos x - 5 x⁴ 2) sin x - 20 x⁴ 3) – sin x - 5 x⁴ 4) sin x - 5 x⁴

Эталон 4 Р-4

Чему равно значение производной функции

y = 5x² – x⁴ в точке x₀ = 1?

1) 6 2) 4 3) 3 4) 0

Эталон 1 Р-4

Определите промежуток, в котором производная функции y = g(x) принимает отрицательные значения, если данные о функции y = g(x) указаны в таблице.

x	(-∞;-12)	- 12	(-12; -3)	-3	(-3; -5)	5	(5; + ∞)
g		3		-1

1) (- ∞ ; - 12 ) ( - 3 ; 5 ) 2) ( - 12 ; - 3 ) ( 5; + ∞ ) 3) ( - 12 ; - 3 ) 4) ( - ∞ ; 5 )

Эталон 2 Р-4

Найдите точки максимума функции h(x) =

1) 2 2) 1, 5 3) – 1, 5 4) – 3

Эталон 3 Р-4

Часть 2

Найдите производную функции f(x) =

1) sinx 2) 2sinx 3) –cosx 4) cosx

Эталон 4 Р-4

Найдите наибольшее значение функции

y = на отрезке [ - 1 ; 3 ].

1) 22,5 2) 23 3) 21,5 4) 21

Эталон 1 Р-4

Найдите скорость изменения функции

y = x² – 3x в точке с абсциссой x₀ = 1.

1) 1 2) 4 3) -1 4) 5

Эталон 3 Р-4

Ситуация 37

Тест «Аксиомы стереометрии.

Следствие из аксиом».

Вариант 1.

В пространстве даны три точки А, В, С такие, что АВ=14 см., ВС=16 см., АС=18 см. Найдите площадь треугольника АВС.

а) 32 см² б) 48 см² в) 36 см² г) 54 см².

Эталон б Р-4

Треугольник МКР – равносторонний со стороной, равной 12 см. Точка А лежит вне плоскости треугольника МКР, причем АК=АР=4см., а АМ=10 см. Найдите косинус угла, образованного высотами МЕ и АЕ соответственно треугольников МКР и АКР.

А) б) в) г)

Эталон в Р-4

В плоскости α лежат точки В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ=5 см.; АС=7 см.; ВС=6 см.

а) 2 см б) 8см в) 12 см. г) 10 см.

Эталон а Р-4

Вариант 2.

В пространстве даны три точки: М, К, Р такие, что МК=13 см., МР=14 см. и КР = 15 см. Найдите площадь треугольника МКР.

а) 42 см² б) 42 см² в) 84 см² г) 42 см².

Эталон в Р-4

Треугольник АВС – равносторонний со стороной 8 см. Точка D лежит вне плоскости треугольника АВС, причем DВ=DС=5 см., DА=3см.

Найдите конус угла между высотами DК и АК соответственно треугольников ВDС и АВС?

а) б) в) г)

Эталон а Р-4

Точки С и К лежат в плоскости β, а точка D – вне плоскости β. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если СD=СК=10 см., DК=4 5 см..

а) 8 см. б) 6см в) 6 см; г) 8 см.

Эталон г Р-4

Ситуация 42

Тест «Параллельность в пространстве».

Вариант 1

Плоскость a пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно, причем АС . Найдите АС, если ВD : АD = 3 : 4 и DЕ = 10 см.

а) 12,5 см б) 7,5 см в) 24 см г) 23 см.

Эталон г Р-4

Отрезок АВ пересекает плоскости a, точка С середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках А₁,В₁ и С₁. Найдите СС₁, если АА₁ = дм и ВВ₁ = дм.

а) 4 дм. б) 4 дм. в) дм. г) 2 дм.

Эталон г Р-4

Сторону СD треугольника СDЕ пересекают плоскости a и b, параллельны стороне СЕ соответственно в точках К и Р, а сторону DЕ – в точках М и N, причем DК вдвое меньше РК, а СР вдвое больше РК.

Найдите СЕ, если КМ = 6 см.

а) 40 см. б) 36 см. в) 48 см. г) 42 см.

Эталон г Р-4

Вариант 2

Плоскость пересекает стороны МР и КР треугольника МРК в точках N и Е соответственно, причем МК . Найдите NE, если MN : NP = 3 : 5 и MK = 12 см.

а) см б) 9 см в) 7,5 см г) 8, 5 см.

Эталон в Р-4

Отрезок CD не пересекает плоскость , точка E середина CD. Через точки C, D и E проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках C₁,D₁ и E₁. Найдите EE₁, если CC₁ = дм и DD₁ = cм.

а) cм. б) cм. в) cм. г) 2 cм.

Эталон б Р-4

Плоскости α и, параллельные стороне АВ треугольника АВС пересекают сторону АС в точках M и N, а сторону ВС – в точках Е и К. Отрезок MN в три раза больше СN, а отрезок АМ вдвое короче MN. Найдите АВ, если NЕ = 12 см.

а) 64 см б)72 см в)60 см г)66 см

Эталон г Р-4

Ситуация 49

Тест «Перпендикулярность в пространстве».

Вариант 1

ABCD- квадрат, BM ^ (ABC). Найдите отрезок DM, если AB= см, а BM = 5 см.

а) 6 см б) 7 см в)6 см г)5 см.

Эталон б Р-4

КО- перпендикуляр к плоскости α, КМ и КР – наклонные к плоскости α, ОМ и ОР -проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости α, если КМ = 15 см и КР = 10 см.

а) 18 см б)10 см в) 12 см г)12 см.

Эталон б Р-4

АА₁ – перпендикуляр к плоскости α,АС и АВ – наклонены к плоскости α .Длина перпендикуляра АА₁ = .Угол А₁АС = 60⁰ и ÐАВА₁ = 30⁰, ВС = 4 см. Найти угол ÐАСВ

а) 30⁰ б)60⁰ в)45⁰ г)90⁰

Эталон в Р-4

Треугольник АВС – прямоугольный, ÐС = 90°, АС = 8 см, ВС = 6 см. Отрезок СD-перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите СD,если расстояние от точки D до стороны АВ равно 5 см.

а)1,8 см б)2см в)2,5 см г)1,4 см.

Эталон г Р-4

Вариант 2

CDEK – квадрат со стороной, равной 2 см. BD (CDE). Найдите расстояние от точки В до плоскости CDE, если BK = см.

а) 8 см б) 6 см в) 8 см г) 6 см.

Эталон в Р-4

ВO – перпендикуляр к плоскости , ВА и ВС – наклонные, OА и OС – их проекции на плоскость , причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости , если АВ = 4 см и ВС = 12 см.

а)8 см б) 6 см в) 6 см г) 4 см.

Эталон г Р-4

АВ и АС – наклонные в плоскости ,

АА₁ – перпендикуляр, АС = 12, ВС = 5 см, АС ^ ВС и угол АВА₁ = 60⁰.

Найти длину перпендикуляра АА₁ и проекцию наклонной АС

а) б) в) г)

Эталон а Р-4

Треугольник АВС – прямоугольный, A = 60⁰, С = 90⁰. СН – высота треугольника АВС, причем СН = 8 см. Отрезок ВК перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Найдите отрезок ВК, если расстояние от точки К до стороны АС равно 20 см.

а) 12 см б) 15 см в) 8 см г) 10 см. Эталон а Р-4

Ситуация 52

Тест «Координаты в пространстве.Векторы».

Вариант 1

Известны координаты вершин треугольника АВС:

А (2; -1; -3), В (-3; 5; 2), С (-2; 3; -5). ВМ - медиана треугольника АВС. Найдите длину ВМ.

а) б) в) г) .

Эталон г Р-4

CDEF – параллелограмм: C (-4; 1; 5), D (-5; 4; 2), E (3; -2; -1), F (x; y; z). Найдите координаты точки F и в ответе запишите число, равное x+y+z.

а) –2 б) –3 в) 1 г) 2

Эталон в Р-4

Даны точки М ( -4; 7; 0) и N (0; - 1; 2) Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

а) б) в) г)

Эталон а Р-4

Даны координаты точек:

А( -3; 2 ; - 1), В( 2; -1; -3), С ( 1; -4; 3), D ( -1; 2 ; -2)

Найдите

а) б) в) г)

Эталон б Р-4

Даны координаты точек:

С ( 3; - 2; 1) , D( -1; 2; 1), М( 2; - 3; 3), N( -1; 1; -2)

Найдите косинус угла между векторами СD и MN

а) 0,75 б)0,6 в) 0,7 г)

Эталон в Р-4

Вариант 2

Известны координаты вершин треугольника CDE: C(-3; 4; 2), D(1; -2; 5), E(-1; -6; 4). DK – медиана треугольника. Найдите DK.

а) б) в) г).

Эталон а Р-4

ABCD – параллелограмм: A(4; -1; 3), B(-2; 4; -5), C(1; 0; -4), D(x; y; z). Найдите координаты точки D и в ответе запишите число, равное x+y+z.

а) –3 б) –5 в) 6 г) 4.

Эталон в Р-4

Даны точки М( -2; 1; 6) и N (0; 3; - 4) Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

а) б) в) г)

Эталон г Р-4

Даны координаты точек:

А( 1; -1; -4), В(-3; -1; 0), С( -1; 2; 5), D( 2; -3; 1)

Найдите косинус угла между векторами АВ и CD.

а) 0,8 б) - 0,5 в) – 0,7 г) 0,6

Эталон г Р-4

Даны координаты точек:

С( - 4; - 3; - 1;), D( - 1; - 2; 3), М(2; - 1; - 2), N(0; 1; - 3)

Найдите .

а) б) в) г)

Эталон в Р-4

Ситуация 66

Тест «Первообразная и интеграл».

Вариант 1

Решите уравнение , если

а) - 3; 4 б) 3; - 4 в) - 2; 6 г) 2; - 6

Эталон в Р-4

Найдите общий вид первообразных для функции

а) в)

б) г)

Эталон б Р-4

, . Найдите
a) - 8, 25 б) 10, 75 в) - 10, 25 г) 7, 75

Эталон г Р-4

4.Покажите с помощью стрелок, какие функции являются первообразными для функции

5.Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: функция F является первообразной для f на некотором промежутке, если …

а) б) в) г)f^/(x)=F^/(x)

Эталон б Р-4

6.Укажите функцию, для которой является первообразной

а) ; б) ; в) ; г) такой функции нет

Эталон в Р-4

7.Вычислите:

а) 27; б) 24; в) 18; г) 21

Эталон г Р-4

8.Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г)

Эталон а Р-4

9.Вычислите:

а) - 2; б) 2; в) - 3; г) 3

Эталон в Р-4

10.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

а) ; б) 1,5; в) ; г)

Эталон а Р-4

Тест «Первообразная и интеграл».

Вариант 2

Решите уравнение , если

а) -14; 2 б) 14;-2 3) -14;-2 г) 14;2

Эталон б Р-4

Найдите общий вид всех первообразных для функции

а) ; в)

б) ; г)

Эталон б Р-4

; . Найдите

а) - 23; б) - 18; в) - 27; г) – 15

Эталон а Р-4

Покажите с помощью стрелок, какие функции являются первообразными для функции

Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: любая первообразная для функции может быть записана в виде …

а) ; б) ; в)

Эталон а Р-4

Укажите функцию, для которой является первообразной

а) ; в)

б) ; г) такой функции нет

Эталон в Р-4

Вычислите:

а) ; б) ; в); г)

Эталон б Р-4

Вычислите:

а) ; б) 4,5; в) - 4,5; г) - 3,5

Эталон г Р-4

Вычислите:

а) -3,5; б) 4,5; в) - 4,5; г) - 3,5

Эталон в Р-4

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

а) ; б) ; в) ; г) 4,5

Эталон г Р-4

Тест «Первообразная и интеграл»

Вариант 3

Часть I

Укажите функцию, для которой F(x) = 9x³ – x является первообразной на R.

1) 27x² – 1 2) 3) 9x³ – 1 4) 3x ⁴– x²

Эталон 1 Р-4

Вычислите

1) – 14 2) 14 3) 0 4) 7

Эталон 2 Р-4

Завершите предложение так, чтобы получилось верное высказывание: «Интеграл от непрерывной и неотрицательной функции, заданной на отрезке [a; b] …»

1) показывает площадь криволинейной трапеции;

2) скорость изменения функции;

3) показывает объём тела вращения.

Эталон 1 Р-3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

1) 1 2) 3) 4)

Эталон 2 Р-4

Вычислите интеграл

1) – 1 2) 1 3) 12 4) 4

Эталон 2 Р-4

Часть 2

Найдите первообразную функции f(x) = 4x⁴ – 1, график которой проходит через точку M (1; - 19 )

1) 2) 3) 4)

Эталон 4 Р-4

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 3 и y = 4

1) 2) 1,2 3) 4) 1,3

Эталон 1 Р-4

Верно ли, что ?

1) нет 2) да

Эталон 2 Р-2

Тест «Первообразная и интеграл»

Вариант 4

Часть 1

Укажите функцию, для которой F(x) = 3x² + 2x является первообразной на R.

1) 6x³+ 2x² 2) 3x²+ 2x² 3) x³+ x² 4) 6x + 2

Эталон 4 Р-4

Вычислите

1) -3 2) 0 3) 3 4) 2

Эталон 3 Р-4

Завершите предложение так, чтобы получилось верное высказывание: «Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиками непрерывной и неотрицательной функции y = h(x) , прямыми x = a, x = b, ( a < b) и отрезком [ a ; b ] оси ОХ вычисляется по формуле…»

1) ;

2) , где H – первообразная функции y = h(x)

Эталон 2 Р-3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , и .

1) 2) 3) 1 4) 2

Эталон 1 Р-4

Вычислите интеграл

1) 1 2) – 1 3) – 5 4) 5

Эталон 1 Р-4

Часть 2

Найдите первообразную функции g(x) = 5x⁴+ 2, график которой проходит через точку N ( - 1 ; 8 )

1) 2) 3) 4)

Эталон 4 Р-4

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 – x²и y = 2.

1) 2) 1,2 3) 4) 1,3

Эталон 3 Р-4

Верно ли, что

1) да 2) нет

Эталон 1 Р-4

Ситуация 73

Тест «Показательные уравнения

и неравенства».

Вариант1.

Вычислите .

Эталон б Р-4

Решить уравнение:

Эталон г Р-4

Решить уравнение и запишите сумму корней.

Эталон б Р-4

Решить неравенство

Эталон в Р-4

Решить уравнение

Эталон г Р-4

6.Решите неравенство

Эталон а Р-4

Найдите производную функции

; ;

Эталон б Р-4

Найдите скорость изменения показательной функции y(x) = 3 ∙ e^х + x , в точке x₀ = 0

а) 3 б) 2 в) 4 г)9

Эталон в Р-4

Покажите стрелками те функции, производные которых задаются формулой

y = 4^x + x + 4 y = 4^x + x y = 4^x ∙ 4 +x

y = 4^x ∙ x + x y = 4e^x + x y = e^x + 4x

Тест «Показательные уравнения

и неравенства».

Вариант 2

Вычислите 9-

а)

Эталон г Р-4

Решить уравнение

Эталон г Р-4

Решите уравнение и запишите сумму корней.

а) -1 б) 1,5 в) -2 г) 1

Эталон а Р-4

Решить неравенство

а) б) в) г)

Эталон а Р-4

Решите уравнение

Эталон б Р-4

Решите неравенство

Эталон в Р-4

Найдите производную функции y(x)=3^x-1

а) б)3^xln3 в)-x г)3^x

Эталон б Р-4

Найдите скорость изменения показательной функции в точке х₀ = 0

а) 9; б)14; в)5; г)4.

Эталон а Р-4

Покажите стрелками те функции производные, которых задаются формулой:

y = 4^x + 10 y = 10^x – x y + 10^x + 10

y = 10^x ∙ x² y = 10 ∙ e^x

y = 7^x + 10

Ситуация 81

Тест Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.

Вариант 1.

1.Найдите значение выражения: log₁₂₅5 - log_√2+ log_2,50,4

а) 3,5; б) 4,5; в) 1; г) - 2

Эталон в Р-4

Вычислите 9^log₃^{6 -1,5}

а) 2,5; б) ; в) 1,5; г) 1

Эталон г Р-4

Решите уравнение и запишите произведение корней log₄х = -1,5 и log_х = - а) ; б) 1; в) 9; г) 8.

Эталон б Р-4

Решите уравнение и запишите сумму квадратов его корней.

log_0,25(х²-3х) = - 1

а) 20; б) 15; в) 17; г) 13.

Эталон в Р-4

Решите уравнение: log_х8 log_0,5= log₉.

а) ; б) ; в) ; г) 4.

Эталон г Р-4

Решите неравенство log (4 - х) > - 1

а) (; 6); б) (1,5; 2); в) (1,5; 6); г) (- ; 1,5).

Эталон в Р-4

Найдите производную функции у = 3lnх – 2.

а) 3х; б) 3lnх; в) 3ln3 – 2х; г) .

Эталон г Р-4

Найдите значение производной функции у = + lnх в точке х₀ = 1

а) 2; б) l + 1; в) 1; г) l.

Эталон в Р-4

Тест Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.

Вариант 2.

Найдите значение выражения log_√3 - log_0,25 + _log644

а) - ; б) ; в) - 2; г) - 1

Эталон а Р-4

Вычислите - 4^1,5-log₁₆²⁵

а) 2,5; б) 1,5; в) 2,6; г) 1,6.

Эталон г Р-4

Решите уравнения log₈х = - и log_х0,2 = - 0,5 и запишите произведение корней.

а) 4,2; б) 25,25; в) 6,25; г) 0,8.

Эталон в Р-4

4.Решите уравнение и запишите сумму квадратов его корней

log (х² + 8х) = - 2

а) 68; б) 60; в) 72; г) 82.

Эталон г Р-4

Решите уравнение log₉(9х) · log_х= log

а) 9; б) ; в) ; г) 3.

Эталон б Р-4

Решите неравенство log(8 - х) > - 2

а) ( - ; - 35) (10; +); в) (10; +);

б) (35; - 10); г) (- ; - 10) (35; +)

Эталон б Р-4

Найдите производную функции у = 4 – 5lnх.

а) 4^х – 5ln5; б) -; в) - 5х; г) 5ln5.

Эталон б Р-4

Найдите значение производной функции у (х) = 2lnх - e в точке х₀ = 2

а) 1; б) 4; в) 0; г) 3.

Эталон а Р-4

Тест « Показательная и логарифмическая функция »

Вариант 3

Часть 1

Решите уравнение - 5- 14 = 0

1) 1 2) – 1 3) 0 4) 2

Эталон 2 Р-4

Найдите значение выражения 0, 2 ^log₅³

1) – 3 2) 3) 3 4) 2

Эталон 2 Р-4

Решите уравнение log ₃ ( x + 1 ) + log ₃7 = 2

1) 2) 3) 7 4) 1

Эталон 1 Р-4

При каких значениях х функция y = log ₃ ( 2x – 3 ) принимает положительные значения?

1) x > 1 2) x > 1, 5 3) x > 2 4) 1, 5 < x < 2

Эталон 3 Р-4

Найдите производную функции y = 3 ln x – 2

1) 3x 2) 3 ln x 3) 4) - 2x

Эталон 3 Р-4,

Часть 2

Найдите экстремум функции g(x) = e^x – x

1) 1 2) 2 3) -1 4) 0

Эталон 1 Р-4

Решите систему уравнений

1) (2,5; 5,5) 2) (2; 5) 3) (1; 2,5) 4) (2,5 ; 5)

Эталон 1 Р-4

Решите неравенство log _0,3( 6x – 2 ) < log _0,3( 7 – 3x )

1) (1;2) 2) (1; 2,5] 3) (1; 2) 4) [1; 2)

Эталон 3 Р-4

Тест « Показательная и логарифмическая функция »

Вариант 4

Часть 1

Решите уравнение + 5- 24 = 0

1) 3 2) 3) 1 4) – 1

Эталон 4 Р-4

Найдите значение выражения

2³^log₂⁵

1) 11 2) 15 3) 40 4) 125

Эталон 4 Р-4

Решите уравнение log₂( 5x – 3 ) = 3 + log₂5

1) 5 2) 5, 6 3) 8, 6 4) 7, 6

Эталон 3 Р-4

При каких значениях x функция y = log₂(5 – 2x ) принимает отрицательные значения?

1) 2< x < 2, 5 2) x < 2 3) x > 2, 5 4) x > 2

Эталон 1 Р-4

Найдите производную функции y = 4 – 5 ln x

1) 4^x – 5 ln x 2) + 4 3) – 5x 4) -

Эталон 4 Р-4

Часть 2

Найдите экстремумы функции

g(x) = xe^x

1) 2) e 3) 4) -e

Эталон 3 Р-4

Решите систему уравнений

0,2^x • 0,2^y= 25

2^x • 0,5 = 2^-6

1) (4; 2) 2) -4; 2) 3) (4; -2) 4) (-4; -2)

Эталон 3 Р-4

Решите неравенство

log₃ ( 2 – x ) < log₃( 4x – 3 )

1) (1; 2) 2) (0; 2) 3) (-1; 2) 4) (1; -2)

Эталон 1 Р-4

Ситуация 91

Тест «Многогранники. Параллелепипед. Призма. Пирамида».

Вариант 1

Площадь диагонального сечения куба равно . Найдите площадь поверхности куба.

а) б) 24 в) 36 см² г)48 см²

Эталон г Р-4

Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой.

Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания

а) б) в) г)

Эталон в Р-4

Найдите высоту треугольной пирамиды, если все её боковые рёбра по

см, а стороны основания равны 10см, 10см и 12 см

а) см б) в) см г)1,5 см

Эталон а Р-4

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной

пирамиды, если диагонали сечения пирамиды – прямоугольный

треугольник, площадь которого равна 32см²

а) 108 см² б) см² в)см² г) 96см²

Эталон в Р-4

Вариант 2

Площадь поверхности куба равна 18 см². Найдите площадь

диагонального сечения этого куба

а) см² б)6 см² в) г) 8 см²

Эталон б Р-4

Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой.

Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

а) б) в) г)

Эталон б Р-4

Найдите высоту треугольной пирамиды, если все её боковые рёбра по

см, а стороны основания равны 5 см, 6 см и 5 см

а) 0, 75 см б) см в) см г) см

Эталон г Р-4

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной

пирамиды, если её диагональное сечение – равносторонний

треугольник, площадь которого равна см²

а) см² б) см² в)см² г) 12см²

Эталон в Р-4

Добавить комментарий

JComments