Математика, как известно, «цари­ца и служанка всех наук». Нау­ка становится наукой постоль­ку, поскольку в нее проникает число—так писал замечательный французский математик Эмиль Борель. А если говорить о связи математики и физики, то, на пер­вый взгляд, вообще трудно различить, где кончается математика и начинается теоретическая физика. Что касается физики экспери­ментальной — тут более или менее ясно. Эксперимену — это эк­сперимент. А вот теоретическая физика — это, казалось бы, просто глава математики.

В 1924 г. тридцатисемилетний профессор Цюрихского универ­ситета Эрвин Шредингер прочитал работу де Бройля, в которой движению свободных частиц сопоставлялись некие волны материи. Что это такое, как интерпретировать эти волны, как частица может одновременно обладать и волновыми свойствами — все это совер­шенно не было понятно тогда, да и сейчас (здесь я могу сослаться на такой авторитет как Фейнман) до конца неясно.

Примерно в те же волнующие годы (до сих пор все участники эпопеи создания квантовой механики чуть сентиментально вспоми­нают об этой эпохе как о лучшем времени их жизни) эксперимента­торы преподнесли новый подарок. Атомные спектры часто вели себя не так. Если поместить атом в магнитное поле, наблюдаемая картина совершенно не совпадала с той, которую предсказывала теория. Довольно быстро ряд ученых сообразили, что все можно было бы объяснить, предположив, что электрон имеет собственный момент количества движения — т. е. вращается вокруг собственной оси подобно волчку. И столь же быстро все они обна­ружили, что объяснить эксперимент можно, лишь допустив: ско­рость вращения периферии электрона во много раз больше скорости света. Но это был абсолютный нонсенс. Теория относительности уже давно завоевала признание, а она, как известно, подобное за­прещала. И это еще не все. Имелись и другие несуразности. И, наконец, если последовательно развивать теорию вращающегося электрона, то нужно отметить, что результаты ровно в два раза расходились с экспериментом. Правда, это-то как раз не слишком пугало. Если результат теории отличается от эксперимента ровно в два раза, то хочется верить, что это не случайно. Хуже было все остальное. И все крупнейшие физики того времени один за другим похоронили для себя вращающийся электрон.

Леонард Эйлер был одним из самых поразительных ученых в истории науки. Рассказывать о нем можно бесконечно. Не было такой области математики, в которой он не достиг бы фундаменталь ных результатов. Число работ его умопомрачительно. Перед смертью он сказал как-то, что Петербургской академии, чтобы ра­зобрать его архив, понадобится сорок лет. Он ошибся. Это заняло восемьдесят лет. Я хочу привести здесь один его результат, который при удивительной внешней простоте, быть может, наиболее фантасти­чен. Формула Эйлера:

Два тысячелетия математики пытались доказать пятый постулат Евклида. Почему? Ответ известен. Постулат слишком напоминал теорему. Как постулат он был сложен, некрасив, уродлив.

Она начинается с имени все того же Леонарда Эйлера. Чтобы географическая карта читалась легко, лучше всего печатать от­дельной краской каждую страну. Но этот способ слишком рас­точительный. Удовлетворимся тем, что будем печатать различны­ми красками лишь страны, имеющие общую границу. Если две страны имеют только отдельные общие точки, их можно закрасить одинаковыми красками. Спрашивается, какое минимальное число красок необходимо для карты, напечатанной по таким правилам? Следует добавить, что карта покрывает всю плоскость. Иначе гово­ря, если страны занимают ограниченную область (остров), то вся внешняя часть рассматривается как «море», которое тоже необхо­димо закрасить.

Карл Фридрих Гаусс любил повторять: «Математика— царица наук, а теория чисел—царица математики». Во времена Гаусса эта область была почти абсолютно независима от всей остальной математики. Сейчас положение несколько изменилось. Наиболее крупные результаты теории чисел получены с помощью аналити­ческих методов — методов функций комплексного переменного. Соответственно проявились более тесные связи, некоторые резуль­таты теории чисел используются для развития других областей, кое-какие (очень небольшие) применения теория чисел находит даже в физике. Но, конечно, не потому Гаусс ставил теорию чисел на первое место.

Почти во всех учебниках анализа, геометрии, топологии и про­чее и прочее приводится, цитируется и доказывается знаменитая и очень важная теорема Жордана. «Замкнутая кривая на плоскости, не имеющая самопересечений («простая»), делит плоскость ровно на две области: внешнюю и внутреннюю».

В семнадцатом веке математики создали основы самой невероят­ной науки—теории вероятности. По-моему, нет более парадок­сальной и красивой постановки проблемы во всей истории матема­тики и вообще человеческой мысли. В основе — фантастическая идея — найти законы там, где, как заранее известно, царит слу­чай, где нет никаких законов. К концу девятнадцатого века теория вероятностей превратилась в вполне почтенную дисциплину. Но вот тут-то и начались споры и сомнения. Потому что идейные ос­новы теории вероятностей с позиций математиков никуда не годи­лись. В двадцатом веке была, наконец, создана строгая аксиомати­ка теории вероятностей. Это сделал один из самых крупных мате­матиков нашего Бремени советский академик А. Н. Колмогоров.