Она начинается с имени все того же Леонарда Эйлера. Чтобы географическая карта читалась легко, лучше всего печатать от­дельной краской каждую страну. Но этот способ слишком рас­точительный. Удовлетворимся тем, что будем печатать различны­ми красками лишь страны, имеющие общую границу. Если две страны имеют только отдельные общие точки, их можно закрасить одинаковыми красками. Спрашивается, какое минимальное число красок необходимо для карты, напечатанной по таким правилам? Следует добавить, что карта покрывает всю плоскость. Иначе гово­ря, если страны занимают ограниченную область (остров), то вся внешняя часть рассматривается как «море», которое тоже необхо­димо закрасить.

Известно, что для простейших карт необходимо четыре крас­ки. Что произойдет, если мы будем произвольно усложнять нашу географию? Уже около двухсот лет доказана теорема: «Пять красок заведомо достаточно для любой сколь угодно сложной карты на неевклидовой геометрии, своих работ не опубликовал. Между прочим, можно удивляться историкам науки. Вопрос о том, почему именно Гаусс молчал о своих результатах в неевклидовой геометрии, волнует всех без малого сто лет. Вероят­но уже можно составить небольшую библиотеку из книг и диссерта­ций, посвященных исключительно этой теме. Но мне не доводилось встречать, по-моему, совершенно тривиального объяснения, при­веденного чуть выше.

 

Непротиворечивость неевклидовой геометрии была доказана позже, а творцами ее справедливо считают Лобачевского и Бояи потому, что они — и только они — рискнули предложить новую теорию, не имея строгого доказательства.

 

Мораль. Как видно, часто к великим математическим открытиям приходят почти такими же путями, как и в физике. И все-таки тре­бования к логической строгости и обоснованности теории в мате­матике неизмеримо выше. Тем не менее и в математике, если сле­довать только букве, а не духу закона, можно пройти мимо важ­нейших результатов.

 

Почти об этом говорит красивый афоризм, который вспомнил в своей книге замечательный математик Литтлвуд: «Репутация ма­тематика основывается на числе плохих доказательств, придуман­ных им».

 

Смысл: работы первооткрывателей очень часто неуклюжи и грубы.

Возможно все наши истории создают впечатление, что на выс­шем уровне особой разницы между математикой и теоретической физикой нет. В определенном смысле так оно и есть. Но на самом высшем уровне, пожалуй, нет особой разницы и между музыкой и математикой или, если угодно, между архитектурой и теоретиче­ской физикой. Позвольте покончить с рассуждениями. Перед нами 

плоскости». Эта теорема довольно просто доказывается с помощью одной блестящей теоремы Эйлера. (Кстати, доказательство этой блестящей и исключительно важной теоремы тоже весьма элемен­тарно.)

Итак, пять красок нам заведомо хватит. Но как только пробле­мой заинтересовались, обнаружили, что практически для любой карты на плоскости всегда достаточно четырех красок. Как рас­сказывают, впервые на эту задачу обратил внимание скромный английский бакалавр Френсис Газри в 1832 г. Почти через трид­цать лет в 1878 г. замечательный английский математик Кэли обратил внимание Английского математического общества на зада­чу Газри. Доказать (или опровергнуть) утверждение: «чтобы рас­красить любую карту на плоскости (по правилам, сформулирован­ным ранее), достаточно четырех красок». Просто? Казалось бы, да. Задача не решена до сих пор. Никто (а многие крупнейшие ма­тематики пытались подступиться к этой проблеме) не доказал и не опровергнул теорему о четырех красках, и, более того, не смог даже предложить опровергающий теорему пример.

Почти сразу после выступления Кэли в 1880 г. два крупных английских математика, казалось бы, нашли решение. Они опуб­ликовали свое очень сложное доказательство, и десять лет весь ма­тематический мир был спокоен. Но в 1890 г. в доказательстве на­шли ошибку, и с тех пор, хотя почти каждый год появляется новое доказательство этой таинственной теоремы, все они оказываются ошибочны.

Причем, математиков поражает главным образом то, что совер­шенно непонятно, почему теорема так трудна. Аналогичные теоре­мы сравнительно легко доказываются для, казалось бы, более хитрых поверхностей. Например, давно известно, что для раскрас­ки карты на торе необходимо и достаточно семь красок. Для карты на такой экзотической поверхности, как лист Мебиуса, необходимо и достаточно шесть красок. А для плоскости (или для сферы — лег­ко видеть, что для этой задачи плоскость эквивалентна сфере) реше­ние неизвестно.

Более того, строго говоря, неизвестно даже—интересна ли сама задача. Может оказаться, что решение проблемы четырех красок приведет к открытию новых и важных математических ме­тодов, к развитию совершенно оригинальных глав топологии. А может оказаться, что мы просто натолкнулись на математический каприз, на очередную китайскую головоломку. Кстати, в матема­тике имеются десятки комбинаторных головоломок, решение кото­рых неизвестно. Но они не волнуют ученых. Несколько таких голо­воломок можно найти, например, в популярных книгах Гарднера, недавно переведенных у нас. А вот с проблемой четырех красок — совсем другое дело.

Мораль. Очевидно последним, решающим, а иногда, может быть, и единственным критерием для математиков оказывается красота задачи. Конечно, практического значения в узком прикладном смысле проблема четырех красок никакого не имеет. Но она существует как изящный вызов, вызов на дуэль человеческому интеллекту. И математики так же будут стремиться покорить эту задачу, как альпинисты несколько десятков лет стремились поко­рить вершину Джомолунгмы, хотя уже давно кто-то из альпини­стов определил свой спорт как «бессмысленное перетаскивание тяжести на большие высоты».

Надо заметить, что у математиков давно существует поверье: «все красивое оказывается важным». Это можно подкрепить мас­сой примеров. Правда, противоречащих примеров тоже можно найти достаточно.

 

 

Template Settings
Select color sample for all parameters
Red Green Blue Gray
Background Color
Text Color
Google Font
Body Font-size
Body Font-family
Scroll to top