Карл Фридрих Гаусс любил повторять: «Математика— царица наук, а теория чисел—царица математики». Во времена Гаусса эта область была почти абсолютно независима от всей остальной математики. Сейчас положение несколько изменилось. Наиболее крупные результаты теории чисел получены с помощью аналити­ческих методов — методов функций комплексного переменного. Соответственно проявились более тесные связи, некоторые резуль­таты теории чисел используются для развития других областей, кое-какие (очень небольшие) применения теория чисел находит даже в физике. Но, конечно, не потому Гаусс ставил теорию чисел на первое место.

И не надо оправдывать интерес к теории чисел ее прикладным значением. Вероятно, дело в том, что в теории чисел наиболее ярко проявляется, так сказать, суть математики. Ее дух. Эту фразу не следует воспринимать и толковать мистически. Ма­тематика часто в сложной и непонятной нам до конца форме отра­жает законы природы. А основа математики — понятие числа. Или — будем осторожны — во всяком случае одна из основ. По­этому неслучайно, конечно, именно в теории чисел максимально число внешне удивительно простых и совершенно загадочных тео­рем. Одна из них печально знаменитая великая (или последняя) теорема Ферма, недоказанная в общем виде до сих пор. Другой, может быть, еще более красивый пример — «проблема близнецов». Непосредственно просто убедиться, что простые числа иногда встречаются парами. Например: 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31... Спра­шивается: бесконечно число таких пар, или же существует такое число натурального ряда А, после которого близнецы уже не появ­ляются? Пока нет даже намека на решение этой задачи.

До сих пор неизвестно: можно ли представить любое четное чис­ло в виде суммы двух простых? Эта проблема была сформулиро­вана в 1742 г. скромным и незаметным немецким математиком Гольбахом в письме к Эйлеру. Эйлер не смог сделать ничего. Толь­ко в двадцатом веке, использовав новые мощные методы, сначала наш советский математик Шнирельман, потом англичане Харди и Литтлвуд и, наконец, снова советский математик И. О. Виног­радов (ему принадлежат самые общие результаты) добились боль­ших успехов в решении задачи. Однако в окончательной форме гипотеза Гольбаха не доказана до сих пор.

Мораль. Не надо быть специалистом (да и вообще можно не очень знать математику), чтобы увидеть, как красивы теоремы тео­рии чисел. Обманчивая простота формулировок завораживает как профессионалов, так и людей, не имеющих отношение к матема­тике. Поэтому-то специалистам по теории чисел приходится мак­симально страдать от сотен и сотен «доказательств», которыми заваливают их любители. Чуть раньше я написал «печально знаме­нитая» великая теорема Ферма. Дело в том, что в начале двадца­того века один немецкий математик оставил довольно крупное на­следство тому, кто докажет теорему Ферма. С тех пор поток «дока­зательств» не иссякает уже семьдесят лет. И наследство давно испарилось в результате инфляции марки после первой (да! пер­вой) мировой войны, но мода на великую теорему Ферма не про­ходит. Известный немецкий специалист по теории чисел Эдмунд Ландау (однофамилец самого замечательного физика-теоретика на­шей страны Льва Давидовича Ландау) даже заготовил в свое время печатный формуляр для рассылки авторам доказательств теоремы Ферма. «На стр...., строка..., имеется ошибка». Находить ошиб­ки он поручал сотрудникам.

Но если отвлечься от анекдота, то надо заключить: в теории чисел есть какая-то непонятная внутренняя красота, которая рав­но пленяет и специалиста и дилетанта. А это первый критерий для «чистой» математики. Вот, например, что писал замечательный английский математик и педагог Харди.

«Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составле­ны из идей... Узоры математика, так же как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи, так же как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

Теорию чисел часто сравнивали и с музыкой, и это, на мой взгляд, верное сравнение. Трудно объяснить (если только вы не музыкаль­ный критик), что именно привлекает нас в музыке Моцарта, Баха. Но ничего не понимая в музыке, можно почувствовать загадочную внутреннюю завершенность их произведений. Как, может быть, чуть выспренне написал один математик девятнадцатого столетия «душа математики ярче всего проявилась в теории чисел».

Надеюсь, вас не смутило частое употребление слов «дух», «ду­ша», «красота» и т. п. Мы уже говорили, что логические построения математики отражают реальный мир, но это особая реальность — быть может, реальность законов человеческого мышления, — сов­сем не та, которая порой грубо и бесцеремонно управляет физиком- теоретиком.