Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а  1, х - неизвестное.

 

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения:  а>0, b>0.

а0 = 1, а1= а.

аm/n= , где m и n– натуральные числа.

a-n = 1/ аn

an × am = an+m

an/am = an-m

(an)m = an-m

(ab)n = an×bn

(a/b)n = an/bn.

 

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = ax, a > 0, a1:

ax>0, при всех a>0 и x  R;

  x1 =x2.

 

 Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.

 

Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.

 

При решении показательных уравнений используют два основных метода:

переход от уравнения af(x) = ag(x) к уравнению f(x) = g(x);

введение новых прямых.

 

Примеры.

 

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

 

3x = 9x – 2.

 

Решение:

 

3x = (32)x – 2;

3x = 32x – 4;

x = 2x –4;

x = 4.

 

Ответ: 4.

 

  1. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

 

3x –  = 24.

 

Решение:

 

3x – 3x – 2 = 24

3x – 2(32– 1) = 24

3x – 2 × 8 = 24

3x – 2= 3

x – 2 = 1

x = 3.

 

Ответ: 3.

 

  1. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

 

4x + 2x= 12.

 

Решение:

 

22x + 2x– 12 = 0

Обозначаем 2x = у.

y2 + y – 12 = 0

y1 = - 4; y2 = 3.

  1. a) 2x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2х> 0.

б) 2x = 3; 2x= 2log23; x = log23.

 

Ответ: log23.

 

  1. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.

 

3 × 2х + 1 - 2 × 5х – 2 = 5х + 2х – 2.

 

Решение:

 

3× 2х + 1 – 2х – 2 = 5х – 2 × 5х – 2

2х – 2 ×23 = 5х – 2

×23

2х – 2 = 5х – 2

(5/2)х– 2 = 1

х – 2 = 0

х = 2.

 

Ответ: 2.

 

  1. Уравнения, однородные относительно ax и bx.

 

Общий вид: .

 

9x + 4x= 2,5 × 6x.

 

Решение:

 

32x – 2,5 × 2x × 3x+22x = 0    |: 22x > 0

(3/2)2x– 2,5 × (3/2)x + 1 = 0.

Обозначим (3/2)x = y.

y2 – 2,5y + 1 = 0,

y1= 2; y2 = ½.

 

 

Ответ: log3/22; - log3/22.

 

 

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

 

y=logax, a > 0, a 1:

 

1) Область определения:  x > 0;

 

2) Область значений:  yR;

 

3)  logax1=logax2x1=x2;

 

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.

 

a >1  и logax1>logax2x1>x2,

0 < a < 1 и logax1>logax2x1 < x2;

 

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

 

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.

 

Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

 

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

 

Примеры.

 

Решить уравнения:

 

  1. a) log3(5х – 1) = 2.

 

Решение:

 

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.

log3(5х– 1) = 2,

log3(5х – 1) = log332,

5х - 1 =9,

х = 2.

 

Ответ: 2.

 

б) log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.

 

Решение:

 

ОДЗ:

 

 

log2(х– 5) + log2(х + 2) = 3,

log2((х– 5)(х + 2)) = log223,

(х – 5)(х + 2) = 8,

х2 – 3х – 18 = 0,

х1 = 6 (5; +);

х2= –3 (5; +),

 

следовательно, х= -3 - посторонний корень.

 

Ответ: 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

 

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные неравенства, перечислены в теоретических материалах по теме 7 «Показательные уравнения».Кроме того, пользуются также следующими свойствами показательной функции у = ах,

 

a > 0 ; а  1

 

1) аx > 0 при всех а > 0 и x  R;

 

2) при а > 1 функция у= ах возрастает, т.е. если a>1 и  <=> x1 > x2;

 

3) при 0< a < 1 функция у = ах убывает, т.е. если 0 < a < 1 и  <=> x1 < x2.

 

Рекомендации к теме теория >>

 

При решении показательных неравенств используются те же приемы, что при решении показательных уравнений.

 

Будьте внимательны: показательная функция в зависимости от основания может быть возрастающей (а>1) или убывающей (0

 

Примеры.

 

  1. Неравенства, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей неравенства к степени с одинаковым основанием.

 

а)2x2> 2 x+2.

 

Решение:

 

2x2> 2 x+2;

х2 > х+2, т.к.функция y =2t возрастает,

х2 – х–2 > 0;

x < – 1; x > 2.

 

Ответ:.

 

б).

 

Решение:

 

 

 

Ответ:

 

  1. Неравенства, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

 

8 × 2х – 1 – 2х > 48

 

Решение:  2х–1 (8 – 2) > 48,

 

 2х–1  > 8,

 

 2х–1  > 23,

 

 х – 1 > 3, т.к. функция y = 2tвозрастает,

 

 х > 4.

 

Ответ:

 

  1. Неравенства, решаемые с помощью замены переменной.

 

2х + 23 – х < 9

 

Решение:

 

 

 

 

 

а) 2х< 0. Неравенство решений не имеет, т.к. 2х > 0.

 

б) 1 < 2х< 8; 20 < 2х < 23; 0 < x < 3, т.к. функция y = 2х возрастает.

 

Ответ: (0; 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

 

y=logax, a > 0, a 1:

 

1) Область определения:  x > 0;

 

2) Область значений:  yR;

 

3)  logax1=logax2x1=x2;

 

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.

 

a >1  и logax1>logax2x1>x2,

0 < a < 1 и logax1>logax2x1 < x2;

 

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства)

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. При решении логарифмических неравенств, нахождение области допустимых значений (О.Д.З.) заданного неравенства в большинстве случаев является нецелесообразным. Обычно условия, задающие О.Д.З. неравенства, подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного неравенства, и решают затем полученную систему.

 

Можно также использовать метод интервалов.

 

 Примеры.

 

 Решить неравенство:

 

а) log3 (х + 2) < 3

 

Решение:

 

D (logа) =R+,

 

следовательно х + 2 > 0.

 

Функция y=log2t возрастающая, следовательно, 0 < х + 2 < 27, -2< х < 25.

 

Ответ: (-2; 25)б)       

 

 

следовательно, функция

 

 

 

возрастает на промежутке

 

(0; +).

 

Данное неравенство равносильно системе:

 

 

 

Неравенство х2 – 3х – 10≥ 0 решим методом интервалов

 

х1 = 5 ; х2 = –2

(х – 5)(х + 2) ≥ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические уравнения. Основные методы решений

 

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

 

Простейшие тригонометрические уравнения.

 






 

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

 

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

 

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

 

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

 

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

 

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

                             

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

 

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

                              

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

 

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

 

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

    

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                           

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

 

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan

 

    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

 

                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                              

 

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

 

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

 

                                           a sin x + b cos x = c ,

 

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

 

 

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

 

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

 

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

 

                                                 cos 8x = 0 ,

 

                                                 8x = p / 2 + pk ,

 

                                                 x = p / 16 + pk / 8 .

 

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

                                                                                                                                             

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

  

                              

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

 

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

 

1.

 

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

 

2.

 

Если а < 0, уравнение не имеет корней.

 

Если , уравнение равносильно уравнению .

 

 

Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы:

1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);

2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

3) метод введения новых переменных.

 

Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание!

 

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 3) метод введения новых переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Производная ипервообразная функции, ее геометрический и физический смысл.

         Пусть на некотором промежутке  определена некоторая функция

         Вычисление производной функции  производится по общему правилу дифференцирования:

  1. Придавая аргументу приращение  и подставляя в выражение функции вместо аргумента  наращенное значение +, находим наращенное значение функции:
  2. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции:
  3. Делим приращение функции на приращение аргумента , т.е. составляем отношение:

.

  1. Находим предел этого отношения при :

.

         Этот предел и есть производная от функции . Итак:

         Производной функции f(x) в точке х=х0 называется отношение приращения функции  в этой точке к приращению  аргумента, при стремлении последнего к нулю.

.

         Нахождение производной называется дифференцированием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции (рис.10).

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

         Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

         Уравнение касательной к кривой:  

         Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

         Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

         Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Основные правила дифференцирования.

         Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) Производная суммы (разности): (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) Производная произведения: (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Производная частного:, если v ¹ 0

4) Производная сложной функции:

 

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

         Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

 

Неопределенный интеграл.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 

         Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 

         Свойства:

  1. , где u, v, w – некоторые функции от х.

 

Таблица производных и первообразных некоторых основных элементарных функций.

  

Первообразная

Функция

Производная

1.

     

2.

     

3.

     

4.

     

5.

     

6.

     

7.

     

8.

     

9.

     

10.

     

11.

     

12.

     

13.

     

 

Определенный интеграл.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

         Формула Ньютона-Лейбница:

.

         Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0X, прямыми  и  и графиком неотрицательной функции  на отрезке  находится по формуле:

.


 

 

Приложение производной к исследованию функции.

         Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , о функция убывает в этом промежутке.

Точка  из области определения функции  называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка  из области определения функции  называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки принадлежащие области определения функции, в которых производная  обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку  производная  меняет знак, то функция  имеет в этой точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку  производная не меняет знака, то функция  в точке  не имеет экстремума.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью производной.

  1. Найти производную функции .
  2. Найти критические точки I рода функции , т.е. точки принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции .

 

          два основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

         Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

         Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования   можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

         Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится  в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

         Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

 

Способ подстановки (замены переменных).

         Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:


 

Примеры решения задач.

  1. Исследовать на экстремум функцию:

Решение. Имеем ; тогда из уравнения  получим:  и . Составим таблицу:

             
 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

         График функции  изображен на рисунке внутри таблицы.

 

  1. Вычислить производную функции

Решение:

  1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке А(0;1).

Решение: Функция  определена, непрерывна и дифференцируема на множестве .

Выпишем уравнение касательной

Найдем искомое уравнение касательной:

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на интервале

Решение:

Найдем критические точки функции, т. е. те точки, в которых производная равна нулю:

 

В интервал попадают точки с абсциссами 0; -2; 2. В точке с абсциссой 2 значение функции уже найдено, поэтому найдем ее значения в оставшихся точках:

Ответ:

  1. Исследовать функцию при помощи производной и построить ее график.

Решение:

  • Область определения:
  • Данная функция нечетная, так как Следовательно, график этой функции симметричен относительно начала координат. Поэтому сначала исследуем эту функцию и построим ее график при
  • На промежутке x>0 функция имеет одну стационарную точку x=2.
  • Производная положительна на промежутке x>2, следовательно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале 0<x<2 производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает.
  • Точка x=2 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»;

Составим таблицу:

 

 

    x

(0;2)

2

(2;+)

 F(x)

 

0

+

F(x)

 

4

 

Найдем значения функции еще в двух точках:

Используя результаты исследования, стоим график функции  при x>0. График этой функции при x<0 строим с помощью симметрии относительно начала координат (рис.12).

 

  1. Найти неопределенные интегралы: а) .

Решение:

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

б)

Решение.  Замена  Получаем:


 

 

 

 

Элементарные функции и их графики

 

 

1.

            Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:             

y  = k x ,

                                                 

где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tan = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .

 

2.

Линейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:

 

A x + B y = C ,

                          

где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

 

 

3.

Обратная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

 

y = k / x ,

                                                 

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k.

 

 

Основные характеристики и свойства гиперболы:

        - область определения функции:  x 0,  область значений:  y 0 ;

  - функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не 

 монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? );

  - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

  - нулей функция не имеет.

4.

Квадратичная функция. Это функция:  y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c - постоянные,  a 0. В простейшем случае имеем:  b = c = 0  и   y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

 


График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D: D = b24ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

 

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая  a > 0, D > 0 .

 

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  - область определения функции: - < x < +  ( т.e.  x R ), а область

     значений:( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

  - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

     ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при  b = c = 0,

   и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при  D 0 ? ) .

 

5.

Степенная функция. Это функция:  y = axn, где  a , n – постоянные. При  n = 1 получаем прямую пропорциональностьy = ax; при  n = 2 - квадратную параболу; при  n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при  n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения  x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

 

 


Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.


При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак  ±  перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей:  верхнюю или нижнюю.

6.

Показательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3,  y = 3 i  и  y = -3 (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.


Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: - < x < +  ( т.e. x R );

   область значений:  y > 0 ;

   - функция монотонна: возрастает при  a > 1 и убывает при  0 < a < 1;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

   - нулей функция не имеет.

 

7.

Логарифмическая функция. Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. 

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0, а область значений: - < y < +  

   ( т.e.  y R );

    - это монотонная функция: она возрастает при  a > 1 и убывает при 0 <   a < 1;

    - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

    - у функции есть один ноль:  x = 1.

8.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

 

График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на /2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: - < x < + ; область значений:  -1   y +1;

    - эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные  ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но 

   имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они  

   ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

- функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел 

   «Тригонометрические уравнения» ).

 

Графики функций  y = tan x  и  y = cot x  показаны соответственно на рис.21 и рис.22

     

      Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ),

      неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности

      ( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область      

      определения и область значений этих функций:

9.

 Обратные тригонометрические функции. Определения обратных 

 тригонометрических функцийиих основныесвойства приведены в

 одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся

 лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных 

 поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го

 координатного угла.

 

 

Функции  y = Arcsin x ( рис.23 ) и  y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно:  -1   x +1  и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:  y = arcsin x  и   y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

 

Функции  y = arcsin x  и  y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения:  -1   x +1 ;

  их области значений:  -/2   y /2  для  y = arcsin x  и  0   y для  y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

   ( y = arcsin x – возрастающая функция;  y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0  у функции  y = arcsin x и

   x = 1  у функции  y = arccos x).

 

Функции  y = Arctan x ( рис.25 ) и  y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения  y = arctan x  и  y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

 

Функции  y = arctan x и  y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения:  - x + ;

  их области значений:  -/2 < y < /2  для  y = arctan x  и  0 < y <   для  y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

  ( y = arctan x – возрастающая функция;  y = arccot x – убывающая );

- только функция  y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

  функция  y = arccot x нулей не имеет.

 

 

 

|
Copyright © 2020 Профессиональный педагог. All Rights Reserved. Разработчик APITEC
Template Settings
Select color sample for all parameters
Red Green Blue Gray
Background Color
Text Color
Google Font
Body Font-size
Body Font-family
Scroll to top