Энергетический спектр. Кристалл может состоять из одинаковых атомов (атомарный кристалл) либо из атомов разных сортов. Как те, так и другие могут быть изоляторами, полупроводниками и металлами. Для простоты мы будем говорить только об атомарных кристаллах. Все основные выводы годятся и для кристаллов, со­стоящих из разных атомов.

Каждый кристалл содержит огромное число электронов. Так, например, кристалл германия, одного из типичных полупроводни­ков, содержит примерно 1,3 • 10²⁴ электронов в 1 см³. Тем не менее далеко не каждый кристалл является проводником. Оказывается, что электрические свойства кристалла зависят прежде всего от того, какими значениями энергии могут обладать его электроны. Совокупность этих значений называется энергетическим спектром электронов. Последний определяется характером сил, действую­щих на электрон.

Спектр свободного электрона. Свободный электрон (т. е. элек­трон, на который не действуют никакие силы) обладает кинетичес­кой энергией:

где т— масса, v— скорость электрона. Энергия свободного элек­трона может принимать любые значения е ^ 0 (при е = 0 электрон покоится). Энергетический спектр такого электрона называют не­прерывным (сплошным).

Спектр электрона в атоме (атомный спектр). Известно, что энергия электрона в атоме может принимать только ряд вполне определенных значений, называемых уровнями энергии. Такой спектр называется дискретным. Его удобно представить в виде лестницы горизонтальных линий. Расстояние между двумя какими- либо уровнями (линиями) в некотором масштабе представляет со­бой разность соответствующих значений энергии (рис. 5.1, а).

Спектр электрона в кристалле (спектр кристалла). На каждый электрон в кристалле действует электрическая сила, обусловлен­ная притяжением со стороны ядер и отталкиванием со стороны про­чих электронов. Поскольку атомы кристалла расположены в про­странстве периодически, эта сила также является периодической в пространстве. Говорят, что электрон в кристалле находится в периодическом электрическом поле.

Спектр электрона в периодическом поле изображен на рисунке 5.1, б. Заштрихованные интервалы энергии — области, внутри кото­рых энергия электрона может принимать любое значение. Это так называемые зоны разрешенных значений энергии — разрешенные зоны. Последние отделены друг от друга незаштрихованными ин­тервалами. Электрон не может обладать каким-либо значением энергии, лежащим в незаштрихованной области. Это зоны запре­щенных значений энергии, или запрещенные зоны (ниже разрешен­ная зона именуется просто зоной). Энергетический интервал между нижней и верхней границами рассматриваемой зоны (между «дном» и «потолком» зоны) называется шириной зоны. Интервал между потолком данной зоны и дном соседней, более высокой зоны назы­вается шириной запрещенной зоны.

Каждый электрон кристалла находится в определенной зоне, т. е. обладает энергией, значение которой лежит внутри одной из разрешенных зон.

 

Сравнение атомного и кристаллического спектров. Полезно со­поставить спектры (рис. 5.1, а и б). Предположим, что кристалл состоит из атомов, расположенных друг от друга на столь боль­шом расстоянии, что взаимодействием между атомами можно пре­небречь. Такой кристалл является просто совокупностью периоди­чески расположенных изолированных атомов, а его спектр совпа­дает с атомным (рис. 5.1, а). Этот спектр можно представить как спектр рисунка 5.1, б, в котором зоны сузились и превратились в уровни. Таким образом, если взаимодействие между атомами осла­бевает, то зоны сужаются, и наоборот, при увеличении взаимодей­ствия между атомами уровни расплываются в зоны. Чем сильнее взаимодействие, тем шире зоны.

 

В системе невзаимодействующих атомов каждый электрон по­стоянно находится только в пределах «своего» атома. При наличии взаимодействия электрон может переходить от одного атома к дру­гому. Можно сказать, что рисунок 5.1, а представляет спектр элек­трона, находящегося в определенном атоме, рисунок 5.1, б — спектр электрона, который может перемещаться по кристаллу.

 

Из сравнения рисунков 5.1, а и б можно сделать ряд важных выводов. Прежде всего указать, какому атомному уровню соответ­ствует данная зона. Далее, известно, что чем выше уровень энергии электрона в атоме, тем дальше в среднем от ядра находится элект­рон. В силу соответствия между уровнями атома и зонами кристал­ла то же самое можно сказать и относительно электронов в зонах: чем выше по энергии расположена зона, тем в среднем дальше от ядер находятся соответствующие электроны и следовательно, тем сильнее они взаимодействуют с окружающими атомами.

Состояние электрона в кристалле. Свободный электрон, элект­рон в атоме или в кристалле может находиться в различных состояниях.

Состояние определяется значением ряда физических величин, характеризующих движение электрона. Так, состояние свободного

 

 

электрона определяется вектором скорости v,т. е. совокупностью трех чисел — трех проекций скорости: v_x>vи у . Электроны с

 

-v               -*■                                                                                                                  У

 

разными скоростями v₁и v₂находятся в разных состояниях, но

 

они могут обладать одинаковой энергией, если (и_г)² = (v₂)²(скоро­сти отличаются только по направлению).

 

Рассмотрим теперь состояние электрона в атоме. Из школьного курса химии известно, что траектория электрона в атоме заполняет некоторую область пространства вокруг ядра, называемую электрон­ным облаком. Состояние электрона определяется формой этого облака. Если форма облака одного электрона отличается от формы другого, то состояния этих электронов различны. Так же как и для свободного электрона, среди различных состояний имеются такие, энергии которых одинаковы, т. е. разные состояния могут соответ­ствовать одному и тому же уровню энергии.

 

Состояния электрона в кристалле отличаются прежде всего но­мером зоны. Внутри данной зоны состояния также могут быть раз­личными. Каждое состояние внутри зоны, как и состояние свобод­ного электрона, характеризуется значением вектора скорости. Таким образом, электрон, находящийся в определенном состоянии, движется по кристаллу.

 

Число электронов в данном состоянии. Сколько электронов может одновременно находиться в данном состоянии? В классиче­ской механике это число ничем не ограничено. Например, любое число свободных электронов может одновременно иметь одну и ту же скорость.

 

В квантовой механике положение радикально меняется. Вспом­ним, что говорится в школьном курсе химии об электронах в атоме: одновременно не более двух электронов может иметь облако одина­ковой формы, т. е. находиться в одинаковом состоянии. Оказывается, это положение является частным проявлением общего правила: в данном состоянии может находиться не более двух электронов. Это утверждение в равной мере относится к свободным электронам, к электронам в атоме или кристалле. Оно носит название принципа Паули. Принцип Паули играет в современной физике огромную роль. Состояние называется заполненным, если в нем находится два электрона.

Число состояний. Электронное облако атома состоит из ряда оболочек. Существует максимальное количество электронов, кото­рые могут находиться в данной оболочке. Следовательно, число состояний в оболочке конечно, так как в силу принципа Паули в одном состоянии не может быть больше двух электронов. Число состояний можно получить, разделив максимальное количество электронов оболочки на два. Так, в первой, самой близкой к ядру оболочке может быть не более двух электронов. Значит, в этой оболочке всего одно состояние. Следующая оболочка может содержать не более "восьми электронов, в ней—четыре состояния. В третьей — также четыре состояния, затем девять и т. д.

 

Число состояний в зоне также конечно. Замечательно, что оно одинаково для различных зон и равно числу атомов кристалла N. Можно сказать, что в зоне на каждый атом приходится одно со­стояние.

 

Подведем итог. Спектр электрона в кристалле представ­ляет собой совокупность разрешенных зон, разделенных запрещен­ными промежутками. В любой зоне число состояний равно N. В данном состоянии может находиться не более двух электро­нов. В каждом состоянии электрон обладает некоторой скоро­стью.

Пустые, заполненные и частично заполненные зоны. Зона назы­вается пустой, если в состояниях этой зоны нет ни одного электрона, и полностью заполненной, если в каждом ее состоянии находится по два электрона. Во всех других случаях говорят, что зона за­полнена частично.

Перенумеруем все состояния зоны, обозначив индексом ано-

мер состояния. Электрон в состоянии аобладает скоростью и_а,

Движущийся электрон создает некоторый ток, плотность этого то- ->       —►

ка обозначим j_a. Полная плотность тока /, создаваемая всеми элек­тронами данной зоны, равна векторной сумме плотностей токов всех имеющихся в зоне электронов.

-*■

Если электронов в зоне нет, то j= 0. Если зона заполнена це­ликом, то и в этом случае j= 0. Это связано с симметрией кристал­ла, т. е. с периодическим расположением его атомов в простран­стве. Равенство нулю плотности тока заполненной зоны можно записать следующим образом:

22 • U=0.                                         (1)

а

В левой части равенства (1) суммирование производится по всем состояниям зоны. В каждом состоянии находится два элек­трона.

Важно, что равенство (1) верно и в том случае, если к кристал­лу приложено электрическое поле Е.Так как при £=^0в каждом состоянии заполненной зоны по-прежнему находится два электрона, сумма (1) при включении поля измениться не может.

Иное дело зона, заполненная частично. При Е= 0 в такой зо­не / = 0 просто в силу полной хаотичности теплового движения электронов. При Е Ф 0 на каждый электрон действует сила F= = —еЕ (е—абсолютная величина заряда электрона). Так как в зоне имеются свободные состояния, под действием силы Fпроисхо-; дит перераспределение электронов по состояниям и возникает от­личная от нуля плотность тока /.

I1з изложенного выше следует очень важный вывод: кристалл мо- >м г быть проводником только при наличии частично заполненной ВОНЫ.

1 и пр. о и лиг электронов по зонам при абсолютном нуле. Ди-

II И Mj ............  11\с.. ||. р.рпстплл состоит из атомовс атом­

ным номером Z.Следователь он имеет ZNэлектронов. При аб­солютом нуле (/ О К) любая система частиц находится в со­стоянии с наименьшей энергией. Как следует разместить ZNэлек­тронов по зонам, чтобы кристалл в целом обладал наименьшей nieniней?

Начнем размещать электроны в состояния самой низшей (пер­вой) юны. Когда она окажется заполненной, будем заполнять 4 иною (вторую), затем третью и так далее, пока не разместим *н«* «лек фоны. Поскольку для заполнения каждой зоны требуется

1

Л\ I к'ктронов, то при четном Zбудет заполнено-^- первых зон, а

2

|нт зоны, начиная с зоны номер —+ 1, окажутся свободными. I           я          ^{2                      2-1}

Гг л и / нечетно, то будут полностью заполнены —— первых Z+1

i4.ii, нщ,! с номером - окажется заполненной частично, а все

и» т.н.мыс останутся пустыми. Таким образом, возможны две со- |и| но различные ситуации: 1) В кристалле существуют зоны пикт: полностью заполненные и совершенно пустые. Такой *|ни 1й ы пе может проводить электрический ток и является диэ- Агкфмком. 2) Среди зон кристалла существует одна, заполненная нано юниц) В этом случае кристалл оказывается проводником. Mim> м<inГ».2 иллюстрирует эти выводы (заполненные состояния

заштрихованы двойной штриховкой, свободные—одинарной): а, б соответствуют диэлектрику, в — проводнику.

Наивысшая заполненная при Т = О °К зона диэлектрика назы­вается валентной (и-зона). Происхождение названия понятно: электроны этой зоны соответствуют электронам внешних оболочек атома, т. е. валентным электронам. Наинизшая из пустых при Т = О ^РК зон называется зоной проводимости (озона). Электроны, находящиеся вой озонах, называются соответственно валентными электронами и электронами проводимости.

Полупроводники. Рассмотрим диэлектрик при отличных от аб­солютного нуля температурах. При Т Ф О °К ионы кристалла со­вершают хаотическое тепловое движение около положений равно­весия. В результате взаимодействия с колеблющимися ионами (или другими электронами) электрон у-зоны может получить достаточную энергию и перейти в одно из состояний с-зоны. Одно состояние в с-зоне окажется занятым. В с-зоне возникнет'незанятое состояние — «дырка». Электрону, находящемуся у потолка с-зоны, требуется для такого перехода наименьшая энергия. Она равна ширине за­прещенной зоны е^, отделяющей озону от с-зоны. В среднем при Т Ф О °К имеется некоторое количество электронов в озоне и ды­рок в озоне.

Наличие небольшого количества дырок в озоне и электронов в озоне создает условия для возникновения тока в диэлектрике при приложении электрического поля.

Сопротивление диэлектрика оказывается тем меньше, чем боль­ше электронов переброшено из озоны в озону. При заданной тем­пературе число переброшенных электронов, а следовательно, и сопротивление зависит от быстро увеличиваясь с уменьшением

Если энергия г_к велика, сопротивление оказывается настолько большим, что возникающие токи не поддаются измерению: диэлек­трик практически остается изолятором и при Т Ф О °К. Если же энергия невелика, то сопротивление может оказаться относи­тельно небольшим. Такие диэлектрики получили название полу­проводников.

Таким образом, полупроводник — это диэлектрик с относитель­но узкой запрещенной зоной, отделяющей верхнюю заполненную при Т = О °К зону от нижней незаполненной.

Различие между диэлектриком и полупроводником проиллю­стрировано на рисунке 5.2: а—соответствует собственно диэлек­трику, б— полупроводнику, в— проводнику.

Из сказанного следует, что различие между диэлектриками и полупроводниками количественное. Граница между ними не яв­ляется четкой. Полупроводник — это кристалл, являющийся при Т = О °К диэлектриком, но имеющий относительно узкую запре­щенную зону. Принято считать, что сопротивление полупроводни­ков при комнатной температуре лежит в интервале от 10~^[1] до 10⁴ ом-м. Хорошо проводящий металл обладает сопротивлением порядка 10~⁸ ом-м, диэлектрик— 10¹⁰ ом-м.

Рождение пары и рекомбинация. Энергия электронов с-зоны выше, чем а-зоны. Поэтому они в среднем находятся дальше от ядер. Говорят, что электроны с-зоны слабее связаны с ядрами, такие электроны обычно называют свободными. При Т = О °К свободных электронов нет, озона пуста. С повышением темпера­туры количество свободных электронов возрастает.

При Т — О °К озона полностью заполнена электронами. Ее можно также считать пустой в том смысле, что в ней нет ни одной дырки. С ростом температуры в о-зоне появляются дырки. По ана­логии, эти дырки также называют свободными.

При Т Ф О °К в полупроводнике электроны непрерывно пере­ходят из озоны в озону, происходит генерация пар электрон — дырка. Имеет место и обратный процесс — возвращение электро­нов в озону. Это— процесс рекомбинации пар. Генерация проис­ходит тем интенсивней, чем выше температура. Чем больше число свободных электронов и дырок, тем больше вероятность их встре­чи и тем выше интенсивность рекомбинации. При каждой данной температуре генерация и рекомбинация находятся в дина­мическом равновесии друг с другом и средние концентрации сво­бодных электронов (п) и дырок (р) постоянны. Если температура нозрас 1«1 с*!, генерация усиливается, и п и р начинают увеличива­ться Это продолжается до тех пор, пока возросшая интенсивность рекомбинации не уравновесит генерацию. Таким образом, пир возрастают с повышением температуры.

Ток, создаваемый электронами валентной зоны. Чтобы вычис­лить плотность тока /, создаваемую электронами некоторой зоны, надо знать распределение электронов по состояниям. Электронов

и валентной зоне много, и для вычисления плотности тока / потре­бовалось бы суммировать огромное количество токов отдельных электронов. Оказывается, что это можно сделать гораздо проще.

Ток, создаваемый электронами полностью заполненной зоны, равен нулю. Пусть в сьзоне при температуре, отличной от абсолют­ного нуля, не хватает одного электрона, скажем, электрона в со­стоянии с а — 1. Тогда полная плотность тока этой зоны уже не равна нулю. Нетрудно сообразить, чему она равна. Предположим, что в незаполненное состояние возвращается электрон. Тогда к

плотности тока / у-зоны без одного электрона добавляется плот-

ность тока ]\ возвратившегося электрона и плотность тока а-зоны

становится равной j+ j_vНо теперь н-зона целиком заполнена, и суммарная плотность тока всех ее электронов должна равняться

нулю / -4 /_А = 0. Отсюда:

7 = —Jv                                          (2)

т. е. плотность тока в зоне, в которой незаполнено одно состояние, равна плотности тока отсутствующего электрона с обратным зна­ком. Вместо того чтобы суммировать огромное количество токов электронов, находящихся в a-зоне, достаточно знать ток одного- единственного ушедшего электрона.

Вообразим теперь, что электронов в ц-зоне вообще нет, но в состоянии 1 имеется частица с зарядом +е, где е — абсолютная величина заряда электрона. Такой заряд как раз и будет созда­вать плотность тока — Д. Таким образом, ток зоны, в которой нет одного электрона, равен току одной дырки. Понятие «дырка» те­перь уже не просто термин, означающий незанятое состояние. Дырку следует рассматривать как некоторую частицу с положи­тельным зарядом +е, находящуюся в том состоянии, в котором нет электрона, т. е. имеющую ту же скорость, которой обладал бы электрон в этом состоянии.

Этот вывод можно обобщить на зону с любым количеством пу­стых мест: если в зоне не хватает двух электронов, плотность тока равна сумме плотностей токов двух дырок; вообще, ток произволь­ным образом заполненной зоны можно вычислить, просуммировав либо токи всех имеющихся электронов, либо всех дырок. Ясно, что если электронов мало, проще подсчитывать электроны, а если зона заполнена почти полностью, — дырки.

В действительности, преимущество рассмотрения дырок, а не электронов, в случае почти заполненной зоны, связано не только и даже не столько с тем, что электронов много, а дырок мало. По­нятие «дырка» оказывается гораздо более глубоким: почти запол­ненная зона во всех отношениях ведет себя так, словно переносчи­ками заряда в этой зоне являются положительные частицы. Именно это и имеют в виду, когда говорят, что проводимость зоны имеет дырочный характер.

Удельная проводимость полупроводника. У величин, относя­щихся к свободным электронам, будем ставить индекс п, а к свобод­ным дыркам — индекс р.

В курсе физики 9-го класса показано, что молекулярно-кинети­ческая теория приводит к формуле, связывающей плотность тока

электронов /_п и электрическое поле Е внутри проводника:

In=                                                  К(3)

где — удельная проводимость электронов, связана с концентра­цией п и коэффициентом трения k_nсоотношением k_n= В случае полупроводника обычно вводят так называемую подвижность электронов р_п, связанну зуя p_nдля получим:

К = «Ч* »

индекс gот английского слова         —зазор,разрыв.