В работе исследуется и обосновывается метод нахождения дифференциального уравнения по функции, представленной в виде 6ecJконечного степенного ряда, решением которого она является.
Рассмотрим функцию, определяемую суммой степенного ряда.
СО 00
г г/-Л V1 „ „ак+bХ-1 ^ _ак+Ь-а к=0 к=1
1
« кругеQ = {zeC:\z\<R},R~l = Hm
где aeN, beC,aQeC, akeC\{0}? VfceiV.
Введем в рассмотрение формальный оператор действие которого не меняет радиус сходимости ряда.
Теорема. Функция U(z) является решением дифференциального уравнения zaU(z) = [P(D)U](z), Z€ Q т<> 'да и только тогда, когда выполняются следующие равенства:
Пример. Для функции Бесселя условия из теоремы 1 принимают вид:
Получаем уравнение Бесселя: (г2 - у2 )u(z) = -d2jv(z).