В работе рассматривается задача о вычислении линейного функционала J=\dtjV,(x)ft(x)dx при решении задачи~--Af(+bf(=<p(, с начальным условием f0=0. Доказана следующая теорема.
Пусть:
- А— оператор, действующий в банаховом пространстве В функций, измеримых в X, JcR" с введенной некоторой мерой (не обязательно Лебега), с плотной областью определения Dxявляется мифинитезимальным оператором некоторого однородного марковского случайного процесса в фазовом пространстве X с абсолютно непрерывной вероятностью перехода;
- при каждомtе Т с [0, оо) функция<ptе В и интегрируема в X;
- функционалsjlVfC*)^*)^ решения задачи со свободным членом, взятым по модулю, — интегрируем по времени на [0,оо).
Тогда задача Коши однозначно разрешима для функционала справедливо представление (с £ — обрывающийся марковский процесс вХс инфинитезимальным оператором А -al9а > 0 9 начинающийся в случайный момент
измени t0, в случайной точке хо, распределенных с плотностью q1/,(*), ** — момент обрыва процесса. Интенсивность дополнительного поглощения а> 0 произвольная функция qt(x)удовлетворяет при каждом tg[0,co) условию supp^t(x)z>supp^t(x).
Сформулированы аналогичные результаты для линейного функционалаJ=ji//(x)f(x)dxпри решении линейного стационарного уравнения -А/ + Ь/ = ф:
Полученные несмещенные оценки для рассматриваемых функционалов позволяют методом Монте-Карло вычислять функционалы при различных значениях параметра b, моделируя только один марковский процесс с инфинитезимальным оператором А - al.
Результаты применены к задаче физической оптики об отражении тонкого луча света мутной средой. Для решения использовалась кинетическая модель, основанная на уравнении переноса излучении в стационарном односкоростном приближении.
Реализована программа, предназначенная для расчета полей отраженного излучения от сред с различным сечением поглощения. Эта задача интересна для биомедицинской оптики, в которой роли мутной среды играет биологическая ткань, для оптики атмосферы.