Два тысячелетия математики пытались доказать пятый постулат Евклида. Почему? Ответ известен. Постулат слишком напоминал теорему. Как постулат он был сложен, некрасив, уродлив.

В начале девятнадцатого века независимо друг от друга Лоба­чевский, Бояи и Гаусс пришли к идее, что доказать пятый постулат невозможно. Красив он или нет, но он равноправен с остальными аксиомами геометрии. Очень схематично их логика выглядит так. Предположим, что пятый постулат несправедлив, и затем найдем логическое противоречие в следствиях. Тогда пятый постулат бу­дет доказан. Превратится в теорему. Известный со времен Евклида прием доказательства от противного. Но чем дальше развивалась логическая цепь теорем, тем более стройной оказывалась система этой новой неевклидовой геометрии. И в какой-то момент и Лоба­чевский, и Бояи, и Гаусс поверили— пятый постулат недоказуем. Но если так, геометрия, в которой все аксиомы совпадают с ак­сиомами Евклида, за тем исключением, что вместо пятого постулата взято обратное утверждение, с позиций математика имеет такое же право на жизнь, как евклидова. Она вообще «ничем не хуже».

Но вот дальше и начинается самое любопытное.

«Поверить» — это не означает «доказать». Никто не гарантиро­вал, что, доказав тысячу теорем в неевклидовой геометрии, вы не придете к логическому противоречию в тысяча первой. И это от­лично понимали и Гаусс, и Бояи, и Лобачевский. Нужно было иметь строгое доказательство «принципиальной» непротиворечиво­сти новой геометрии. А его не было.

Они не могли его найти. И так же, как перед Эйлером, возник вопрос: Что же? Порвать с религией математики, опубликовать свои результаты, заявить о том, что неевклидова геометрия так же непротиворечива, как обычная евклидова? Либо же ... либо с го­речью признать: строго доказать я ничего не могу, а если так, ма­тематически законченной работы нет. Это лишь наброски, попытки и только. Лобачевский и Бояи поступили так же, как Эйлер, Гауд- смит и Уленбек. Гаусс, хотя внутренне он был убежден в логиче­ской непогрешимости.