Цель урока:  Образовательные: повторение и закрепление учебного материала, коррекция, углубление, расширение знаний по теме «Показательная функция, ее свойства и график», включение в активную познавательную деятельность. Развивающие: развитие графической культуры, математической речи, формирование алгоритма рефлексивного мышления. Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, толерантности.

Тип урока:  Урок комплексного применения ЗУН учащихся

Используемые учебники и учебные пособия: 

 

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2004.

 

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл. – М.: Просвещение, 1985.

 

3. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.

 

4. Панишева О.В. Применение показательной функции. Журнал «Математика в школе», №5 2001.

 

5. Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа. Газета «Математика» №2, 2005 с.21; №3, 2005 с.20

 

Используемое оборудование: 

 

интерактивная доска

Используемые ЦОР: 

 

презентация

Краткое описание:  Урок с межпредметными связями (физика, биология)по теме "Показательная функция. Её свойства и график"

Ресурс для профильной школы:  Ресурс для профильной школы

 

ТЕМА УРОКА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК.

 

Цели урока:

 

Образовательные: повторение и закрепление учебного материала, коррекция, углубление, расширение знаний по теме «Показательная функция, ее свойства и график», включение в активную познавательную деятельность.

 

Развивающие: развитие графической культуры, математической речи, формирование алгоритма рефлексивного мышления.

 

Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, толерантности.

                                          Ход урока.

 

                                                Некоторые наиболее часто

 

                                                                 встречающиеся виды трансцендентных

 

                                                                функций, прежде всего показательные,

 

                                                 открывают доступ ко многим

 

                          исследованиям.

 

                                    Л.Эйлер.

1. Самоопределение к деятельности, стимулирующее начало.

 

- Здравствуйте, ребята! Поразительна быстрота, с которой размножаются животные и растения, если они попадают в благоприятные условия, т.е. почти не имеют естественных врагов и находят вдоволь пищи. Достаточно было выпустить в Австралии на волю пару кроликов (раньше они там не водились), чтобы  через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. А когда один южноамериканский ученый выпустил несколько экземпляров выведенного им гибрида африканских и местных пчел, рои новой породы стали занимать одну территорию за другой, распространились по всей Южной Америке и сейчас почти полностью вытеснили ранее существовавшие там виды пчел.

 

? Неужели это все связано с математикой? Причем здесь показательная функция? На эти и другие вопросы мы узнаем ответ в течение урока.

 

-Вспомните, чем мы занимались на прошлом уроке. Чему мы научились?

 

- Вы хорошо работали на прошлых уроках, но вы можете сказать, что у вас, у всех все получалось, вы не допускали ошибок при выполнении заданий? (Нет)

 

-Сегодня мы продолжим работать с показательной функцией, исследовать ее свойства, применять их для сравнения выражений, учиться строить более сложные графики показательной функции (графики с модулем), узнаем о применении показательной функции в физике, биологии, экономике и других областях. Если кто-то из вас будет допускать ошибки, ваша задача: найти эти ошибки, понять, почему вы их допустили, и исправить их.

 

-Для успешной работы на уроке повторим основные понятия и алгоритмы, которые мы сегодня будем использовать.

 

2. Актуализация знаний, локализация затруднений.

 

Учебный диалог.   

 

• Расширение понятия какой функции привело к появлению показательной функции? (степенной функции)

 

• Какая функция называется показательной?

 

• Назовите область определения и множество значений функции .

 

• Укажите промежутки монотонности функции при а>1, при 0 < а <1.

 

Устная работа.

 

• Какие из перечисленных функций являются показательными:

 

у = 2х   ;  у = х ;  у = (-5)х   ;  у = πх  ;  у = (2х-7)2               ?

 

• Какие из показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими:

 

  ;    ;      ;     ?

 

• Есть ли среди всех значений функции у = 3х    наибольшее?

 

• Сравните значения выражений:

 

 ;    ;  

 

• Укажите график функции у = 0,5х  ;  у =  2х 

Какие затруднения были при выполнении заданий? Каковы их причины?

3. Включение в систему знаний (отработка имеющихся умений и формирование новых)

 

Задание 1. Построить графики функций   (работа в парах на месте и два ученика у доски работают на откидных досках)

 

1 вариант   у =  2х   ;  у =  2х+1   ;  у =  2х  +1

 

2 вариант  ; ; 

 

1 вариант      

2 вариант

 

Функция       

График          

Функция       

График

у =  2х 

у =  2х+1

у =  2х  +1     

По окончании работы проверка правильности построения графиков и обобщение результатов.

 

- Что произошло с графиками функций?

 

- Укажите множество значений функций.

 

- Укажите точку пересечения каждой функции с осью ординат.

 

- Какой сдвиг испытают графики функций      у =  2х-1   ;   у =  2х  -1 вдоль осей координат ?

Задание 2. Построим график функции    у =  2 ׀‌‌‌‌х׀  (учитель показывает на доске решение)

 

По определению модуля

                      у =  2х  , если  х ≥ 0

 

       2 ׀‌‌‌‌х׀  =

 

                            у =  2 -х  , если х < 0

Задание 3. (Групповая работа с последующей самопроверкой по образцу) Построить графики функций  

 

1 и 3 группы: у =  3 ׀‌‌‌‌х׀   ;  у =  3 ׀‌‌‌‌х-2׀  ;  у =  ׀‌‌‌‌3х - 2 ׀ 

 

                               1б.                2б.                         3б.

 

2 и 4 группы :  ;  ;

 

1б.                2б.                         3б.

 

у =  ׀‌‌‌‌3х - 2׀

4. Расширение информационного поля учащихся, установление межпредметных связей.

 

Применение показательной функции.

 

Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой     , где  N0  - число людей  в момент времени t=0, N – число людей в момент времени t,  a – константа.

Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону

 

, где  p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте  h, H -  константа, зависящая от температуры воздуха.

Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону 

 

      , где  t – время, в течение которого разряжается конденсатор,  R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

Радиоактивный распад.

 

После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов? Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.

 

Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд лет, для радия – 1620 лет, для полония – 84 года, для цезия-137 – 31 год, для иода-131 – 8 суток.

 

Например, за время равное 4,5∙109 лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.

 

Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.

 

у

 

М

 

х

 

Ответ.          или      

  За правильно записанную формулу и верно выполненный график по  0,5б.

0

Потери силы тока. При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.

 

Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995

 

Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость силы тока от расстояния. Изобразить схематически график функции.

 

0

 

1

 

у

 

х

 

Ответ.        

Органический рост

 

• При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов (например, при разведении дрожжей или кефирных грибков на заводах, при изготовлении пенициллина, при выращивании в лаборатории какого-либо вида клеток для научных исследований), когда обеспечиваются особо благоприятные условия для жизни организмов (постоянная температура, наличие достаточного количества питательных веществ, «жизненное пространство» и т.д.), размножение клеток идет так, что за некоторый  определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.

 

Поэтому за равные отрезки времени число клеток в колонии увеличивается в одном и том же отношении, рост колонии идет постепенно, причем, когда время увеличивается  на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза

Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.

 

Ответ.       

• Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. (Конечно, в естественных условиях погибает большая часть растений, но в идеальных условиях, которые иногда возникают в природе или создаются искусственно человеком, рост числа особей идет именно так.)

Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.

 

у

 

0

 

х

 

1

 

Ответ.      

Рост вклада в банке.

 

Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти  к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг.

 

В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через  п лет, если была взята взаймы сумма  а  по  р%  годовых.

 

Эта сумма выражается формулой:

 

 

Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции.

 

Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.

 

 

 

Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.

 

0

 

1

 

у

 

х

 

Ответ.        

 

За каждую правильно записанную формулу и верно изображенный график ученики получают по 0,5 балла.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу, (контроль знаний и умений).

 

Предлагается тестовое задание и самостоятельная работа дифференцированного характера с правом выбора вида работы.

 

 

 

ТЕСТ.

 

Вариант 1.

 

1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:

 

а) у=2х      б)  (-3)х     в)  у=х   г) у = π х

 

 

 

1б.2.Какая функция является возрастающей?

 

а) у=0,2х      б)  у=3х     в)    г) у=2-х

 

 1б.3. Найдите область значения функции  у = 3х  - 6

 

 

 

 а) (- ∞; +∞)   б) (0; +∞)  ;   в) [-6; +∞)   г) ( -6; +∞)

 

 

 

1б.4. Определите наибольшее из чисел.

 

а)  б)      в)  1        г)

 

1б.5. При каком значении а график функции у = ах  проходит через точку  Р (1;2)

 

а) 1    б)   2       в)           г)

 

-----------------------------------------------------------------------

 

3б.6. Построй график функции  у = 3х +׀х׀

 

 

 

Вариант 2.

 

1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:

 

а) у=х2      б)  у =( )х     в)  у =(х-2)3  г) у = 3 –х

 

 

 

1б.2. Какая функция является убывающей?

 

а) у=0,2-х      б)  у=3х     в)      г) у=22х

 

1б.3. Найдите область значения функции  у = 2х  + 2

 

 

 

 а) (- ∞; +∞)   б) (2; +∞)  ;   в) (-2; +∞)   г) ( 0; +∞)

 

 

 

1б.4. Определите наименьшее из чисел.

 

а)  б)      в)          г) 1

 

1б.5. При каком значении а график функции у= ах  проходит через точку  М (2;9)

 

а) 3    б)   2       в)          г) 4,5

 

------------------------------------------------------------------

 

3б.6. Построй график функции  у = 2х -׀х׀

 

 

 

Коды правильных ответов.

 

1 вариант.

 

№ задания     

1 1б.   

2  1б.  

3   1б. 

4   1б. 

5   1б.

 

Ответ

а, г     

б         

г         

в         

б

 

 

 

2 вариант.

 

№ задания     

1   1б. 

2   1б. 

3   1б. 

4     1б.           

5   1б.

 

Ответ

б, г     

в         

б         

г         

а

 

 

 

 

у = 3х +׀х׀     3б.                                  у = 2х –׀х׀

 

                                                    3б.

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

 

2б.1. Сравните с единицей:

 

а)  б)      в)          г)

 

1б.2. Сравните значения выражений:

 

а)       б)  

 

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

 

а)       б)  

 

1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций  f  и  g , если:

 

  а) f (х) = 2х ,   g(х) = 2           б) f (х) =  , g (х) = 

 

----------------------------------------------------------------

 

3б.5. Построй график  функции:   у = 2- 3х

 

 

 

Вариант 2.

 

2б.1. Сравните с единицей:

 

а)  б)      в)           г) 0,212

 

1б.2. Сравните значения выражений:

 

а)       б)  

 

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

 

а)       б)  

 

1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций  f  и  g , если:

 

  а) f (х) = 4х ,   g(х) = 42           б) f (х) =  , g (х) = 

 

--------------------------------------------------------------

 

3б.5. Построй график  функции:   у = 3- 2х

 

Ответы :

 

Вариант 1.

 

2б.1. а) < 1 б)  < 1   в)   < 1      г) >1

 

1б.2. а)       б)  

 

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

 

а)       б)  

 

1б.4. а) х=1           б) х=3

 

----------------------------------------------------------------

 

3б.5.    у = 2- 3х

 

Вариант 2.

 

2б.1. а)  б) <1     в)    >1      г) 0,212<1

 

1б.2. а)       б)  

 

1б.3. а)х < у      б)  х < у     

 

1б.4.  а) х=2          б) х=4

 

--------------------------------------------------------------

 

3б.5. Построй график  функции:   у = 3- 2х

 

 

Критерии оценки за урок:

 

«3»  -   7-10 баллов

 

«4»  -  11-15 баллов

 

«5»  -  16-19 баллов

 

ЛИСТ САМОКОНТРОЛЯ.

Фамилия, имя __________________________________________________

Вид задания  

Групповая работа по построению графиков       

Применение показательной функции      

Самостоятельная работа     

           

Итого баллов

Оценка

 

Количество баллов

6. Рефлексия. Подведение итогов.

 

• Какой материал повторяли на уроке?

 

• Что нового узнали?

 

• С какими трудностями столкнулись на уроке?

 

• Дайте оценку своей работы на уроке.

 

• Что необходимо повторить для успешной работы на последующих уроках?