При умножении приближенных чисел нас должен интересовать прежде всего вопрос о том, сколько знаков следует сохранить в сомножителях, чтобы получить произведение с заданной точностью. Знать это важно для того, чтобы не делать бесполезных вычислений с лишними цифрами.
Рассмотрим сперва случай умножения приближенного числа па точное.
Существует правило: произведение приближенного числа на точное содержит столько верных знаков, сколько их имеется во множимом. Например, в произведении 7,54 X 3,2 = 24,128, где множимое представляет собой приближенное число, а множитель — точное, будет три верных знака — 24,1.

Возьмем другой пример. Произведение приближенного числа 7,3561247 на точное 25 равно 183,9031175. Последнее число содержит восемь верных знаков.
Будем умножать на точный множитель 25 сперва три цифры данного числа, затем четыре, пять и т. д. до последней цифры с округлением там, где это нужно.
Результат получим такой:
7,36    X 25 = 184,00
7,356    X 25 = 183,900
7,3561    X 25 = 183,9025
7,35612    X 25 = 183,90300
7,356125    X 25 = 183,903125 7,3561247 X 25 = 183,9031175.
Данный пример показывает, что для получения, скажем, четырех верных знаков достаточно сохранить во множимом только четыре цифры, остальные должны быть отброшены. Оставление в нем большего количества знаков совершенно нецелесообразно, так как это приводит лишь к напрасной потере времени и труда для бесполезных вычислений.
При отбрасывании лишних цифр применяется округ ление последней сохраняемой цифры.
Если оба сомножителя заданы приближенно, то число верных знаков в произведении будет такое же, как у сомножителя с меньшим количеством точных цифр.
Из этого свойства произведения приближенных чисел вытекает следующее правило: при перемножении приближенных чисел с различным числом верных цифр следует сохранять в каждом из сомножителей столько знаков, сколько их содержится в сомножителе с наименьшим количеством верных цифр. Например, при перемножении двух приближенных чисел 5,48 X 0,24 следует в первом из них сохранить только две цифры, а третью отбросить с округлением смежного с нею знака, т. е. произвести умножение 5,5 X 0,24 = 13,2.
Если приближенные сомножители даны с большим количеством знаков, то на практике с целью уточнения приближенного произведения создают дополнительный запас точности таким образом: если в произведении двух приближенных чисел желают сохранить п верных знаков, то в одном из сомножителей оставляют п + 1 знаков. Например, желая получить три верных знака в произведении 3,53758 X 4,51682 (которое равно 15,9786120956), следует умножить либо 3,54 на 4,517, либо 3,538 на 4,52; в первом случае получим 15,99018 я^ 16,0, во втором — 15,99176 ^ 16,0.
Продолжая тот же прием для получения четырех знаков, найдем:
3,538 X 4,5168 = 15,9804384 ^ 15,98
или
3,5376 X 4,517 = 15,9793392 ^ 15,98; для получения пяти верных знаков:
3,5376 X 4,51682 = 15,978702432 ^ 15,979
или
3,53758 X 4,5168 = 15,978541344 ^ 15,979.
Как видно из приведенного примера, для нахождения четырех знаков произведения достаточно было бы закончить умножение после получения пятой цифры; для определения пяти точных цифр произведения вовсе ненужными оказываются цифры, стоящие правее шестого знака. Поэтому на практике часто применяют способ сокращенного умножения, дающий большую экономию времени при вычислениях в тех случаях, когда можно ограничиться тремя пятью верными цифрами. Способ сокращенного умножения состоит в следующем.
Допустим, требуется найти четыре верных цифры произведения 37,54 X 2,652 (полное произведение 37,54 X 2,652 = 99,55608). Умножение можно выполнить так:

Подписываем под множимым цифры множителя в обратном порядке и умножаем множимое, как обычно, на крайнюю правую цифру множителя; результат подписываем под чертой; затем отбрасываем крайнюю правую .цифру множимого и оставшуюся часть умножаем на вторую цифру множителя, причем второй результат подписываем под первым, не сдвигая на один разряд влево; потом отбрасываем еще одну цифру множимого и оставшуюся часть умножаем на следующую цифру множителя и т. д. до конца. При отбрасывании цифр множимого соблюдается правило округления. Подписанные одно под другим в виде слагаемых произведения складываются и лишний знак отбрасывается также с округлением.
Действие располагается в таком виде:
3754 Х_2562_
7508 2250 190 8
3754 X 2 375 X 6 38 X 5 4X2
99,56
Для сравнения приводим тот же пример умножения, выполненного обычным способом:
3754 х 2652
7508 18770 22524 7508    
99,55608
Оба сомножителя мы рассматривали как целые числа, т. е. десятичные знаки от целых запятыми при умножении не отделялись. Вопрос о том, где следует поставить запятую в произведении, на практике решается приблизительным подсчетом.
Подписывание цифр множителя под множимым в обратном порядке делается лишь для удобства вычислений. Можно, разумеется, подписывать множитель под множимым и в обычном порядке расположения цифр, но тогда умножение придется производить начиная с крайней левой цифры множителя, а во множимом по- прежнему отбрасывать при -каждом перемножении по одному знаку справа. Результат получится тот же.
Приближенное умножение описанным способом легко и достаточно быстро выполняется на счетах. При этом умножение множимого на первую цифру множителя производится по правилу умножения на однозначное число. К полученному результату прибавляются все последующие произведения, предварительно выполненные в уме (что не вызывает больших затруднений, так как ка-ждый раз умножение производится на однозначное число).
Упражнение 48. Найти произведения:
3,854 X 2,222 с точностью до 3-го знака;
0,7826 X 3,762 » » » 4-го знака;
0,0753 X 0,0358 » » » 5-го знака.

|
Copyright © 2020 Профессиональный педагог. All Rights Reserved. Разработчик APITEC
Template Settings
Select color sample for all parameters
Red Green Blue Gray
Background Color
Text Color
Google Font
Body Font-size
Body Font-family
Scroll to top