Выше мы заменили в частном 24 : 13 = 1,8461538... бесконечную дробь числом 1,85, отбросив ряд ненужных нам десятичных знаков. Отбрасывание излишних цифр при замене точных чисел приближенными называется округлением.
При округлении чисел руководствуются следующим правилом: если первая (слева) из отбрасываемых цифр равна или больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр приближенного числа увеличивается на единицу; в противном случае последняя цифра приближенного числа остается без изменения.
Например, округляя число 1,84615... до сотых долей, запишем 1,85, так как отбрасываемая дробь начинается цифрой 6. При округлении того же числа до 0,001 следует записать 1,846, потому что первая цифра отбрасываемой дроби есть 1.
Основанием для указанного правила служит следующее соображение: если отбрасываемая часть больше половины единицы последнего сохраняемого разряда, то и ошибка при отбрасывании последующих знаков будет
больше этой половины; следовательно, увеличивая последнюю сохраняемую цифру на единицу, мы этим самым, наоборот, уменьшаем размер погрешности. Если, например, округляя число 15,8, мы записали бы просто 15, то сделали бы ошибку в 0,8, тогда как записав приближенное число в виде 16, сделаем ошибку только в 0,2.
При округлении чисел, в «которых отбрасываемая часть состоит из одной пятерки, на практике поступают обычно так: последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
Принято называть все цифры приближенного числа верными (или точными), если при отбрасывании излишних десятичных знаков соблюдено указанное правило, т. е. если граница абсолютной погрешности не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда.
Таким образом, в числе 1,85, полученном нами после округления бесконечной дроби 1,84615..., все три цифры будут верными. Если же ограничимся приближением 1,84, го здесь вполне верными будут лишь две первые цифры, третью же можно считать только почти верной. Число 1,846 имеет четыре верных цифры.
Отметим еще одну •особенность приближенных чисел, с которой приходится сталкиваться при округлении.
Пример. Пусть требуется округлить до тысячных долей число 1,2503.
Применяя указанное выше правило округления, мы запишем данную дробь в виде 1,250. Можно ли записать ее как 1,25, применяя известное из теории правило, согласно которому приписывание нулей справа к десятичной дроби не меняет ее величину?
Число 1,250 имеет четыре верных знака, оно содержит в себе одну целую единицу, две десятых, пять сотых, не содержит вовсе тысячных, а десятитысячные в нем не учтены.
Однако в данном случае приближенная десятичная дробь 1,250 не равнозначна дроби 1,25, так как последняя имеет только три верные цифры, т. е. гарантирует точность только до сотых долей, а наличие в ней тысячных находится под вопросом, в то время как нам точно известно, что в данной дроби их нет.
Различие между указанными приближенными дробями становится особенно ясным, если определить процент погрешности той и другой дроби: в первом случае он равен 0,08, во втором — 0,8.